Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14821 / 21159
↖ ↑ ↗
← S 46.369674°
W 17.171631°		 ← 842.93 m → S 46.369674°
W 17.160645°		 →
↑
842.82 m
↓
↑
842.82 m
↓
S 46.377254°
W 17.171631°		 ← 842.82 m →
710 392 m²		 S 46.377254°
W 17.160645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452316284179688 y=0.645736694335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452316284179688 × 215)
    floor (0.452316284179688 × 32768)
    floor (14821.5)     		tx = 14821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645736694335938 × 215)
    floor (0.645736694335938 × 32768)
    floor (21159.5)     		ty = 21159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14821 / 21159 ti = "15/14821/21159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14821/21159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14821 ÷ 215
    14821 ÷ 32768     		x = 0.452301025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21159 ÷ 215
    21159 ÷ 32768     		y = 0.645721435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452301025390625 × 2 - 1) × π
    -0.09539794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29970150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645721435546875 × 2 - 1) × π
    -0.29144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915594782743072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29970150} λ = -0.29970150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915594782743072))-π/2
    2×atan(0.400278476543948)-π/2
    2×0.380746420043458-π/2
    0.761492840086917-1.57079632675     		φ = -0.80930349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29970150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.171631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80930349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.369674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14821 KachelY 21159 -0.29970150 -0.80930349 -17.171631 -46.369674
    Oben rechts KachelX + 1 14822 KachelY 21159 -0.29950975 -0.80930349 -17.160645 -46.369674
    Unten links KachelX 14821 KachelY + 1 21160 -0.29970150 -0.80943578 -17.171631 -46.377254
    Unten rechts KachelX + 1 14822 KachelY + 1 21160 -0.29950975 -0.80943578 -17.160645 -46.377254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80930349--0.80943578) × R
    0.000132290000000035 × 6371000     		dl = 842.819590000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80930349--0.80943578) × R
    0.000132290000000035 × 6371000     		dr = 842.819590000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29970150--0.29950975) × cos(-0.80930349) × R
    0.000191749999999991 × 0.690002738923915 × 6371000     		do = 842.934428476916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29970150--0.29950975) × cos(-0.80943578) × R
    0.000191749999999991 × 0.689906980490674 × 6371000     		du = 842.817446216351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80930349)-sin(-0.80943578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690002738923915-0.689906980490674)×R²
    abs(-0.29950975--0.29970150)×9.57584332406114e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57584332406114e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57584332406114e-05×40589641000000     		ar = 710392.352971707m²