Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14820 / 7428
↖ ↑ ↗
← N 69.641804°
W 17.182617°		 ← 424.97 m → N 69.641804°
W 17.171631°		 →
↑
425.01 m
↓
↑
425.01 m
↓
N 69.637981°
W 17.182617°		 ← 425.05 m →
180 633 m²		 N 69.637981°
W 17.171631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452285766601562 y=0.226699829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452285766601562 × 215)
    floor (0.452285766601562 × 32768)
    floor (14820.5)     		tx = 14820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226699829101562 × 215)
    floor (0.226699829101562 × 32768)
    floor (7428.5)     		ty = 7428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14820 / 7428 ti = "15/14820/7428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14820/7428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14820 ÷ 215
    14820 ÷ 32768     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7428 ÷ 215
    7428 ÷ 32768     		y = 0.2266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2266845703125 × 2 - 1) × π
    0.546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71729149198889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71729149198889))-π/2
    2×atan(5.56942318980513)-π/2
    2×1.39313754933525-π/2
    2.78627509867051-1.57079632675     		φ = 1.21547877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21547877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.641804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14820 KachelY 7428 -0.29989324 1.21547877 -17.182617 69.641804
    Oben rechts KachelX + 1 14821 KachelY 7428 -0.29970150 1.21547877 -17.171631 69.641804
    Unten links KachelX 14820 KachelY + 1 7429 -0.29989324 1.21541206 -17.182617 69.637981
    Unten rechts KachelX + 1 14821 KachelY + 1 7429 -0.29970150 1.21541206 -17.171631 69.637981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21547877-1.21541206) × R
    6.67100000000254e-05 × 6371000     		dl = 425.009410000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21547877-1.21541206) × R
    6.67100000000254e-05 × 6371000     		dr = 425.009410000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29970150) × cos(1.21547877) × R
    0.000191739999999996 × 0.347888103718606 × 6371000     		do = 424.971598159623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29970150) × cos(1.21541206) × R
    0.000191739999999996 × 0.347950645975157 × 6371000     		du = 425.047998250442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21547877)-sin(1.21541206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347888103718606-0.347950645975157)×R²
    abs(-0.29970150--0.29989324)×6.25422565504463e-05×R²
    0.000191739999999996×6.25422565504463e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.25422565504463e-05×40589641000000     		ar = 180633.163646864m²