Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14820 / 21158
↖ ↑ ↗
← S 46.362093°
W 17.182617°		 ← 843.01 m → S 46.362093°
W 17.171631°		 →
↑
843.01 m
↓
↑
843.01 m
↓
S 46.369674°
W 17.182617°		 ← 842.89 m →
710 615 m²		 S 46.369674°
W 17.171631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452285766601562 y=0.645706176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452285766601562 × 215)
    floor (0.452285766601562 × 32768)
    floor (14820.5)     		tx = 14820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645706176757812 × 215)
    floor (0.645706176757812 × 32768)
    floor (21158.5)     		ty = 21158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14820 / 21158 ti = "15/14820/21158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14820/21158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14820 ÷ 215
    14820 ÷ 32768     		x = 0.4522705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21158 ÷ 215
    21158 ÷ 32768     		y = 0.64569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4522705078125 × 2 - 1) × π
    -0.095458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29989324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64569091796875 × 2 - 1) × π
    -0.2913818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.915403035144592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29989324} λ = -0.29989324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.915403035144592))-π/2
    2×atan(0.400355236339566)-π/2
    2×0.380812577818414-π/2
    0.761625155636828-1.57079632675     		φ = -0.80917117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29989324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.182617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80917117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.362093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14820 KachelY 21158 -0.29989324 -0.80917117 -17.182617 -46.362093
    Oben rechts KachelX + 1 14821 KachelY 21158 -0.29970150 -0.80917117 -17.171631 -46.362093
    Unten links KachelX 14820 KachelY + 1 21159 -0.29989324 -0.80930349 -17.182617 -46.369674
    Unten rechts KachelX + 1 14821 KachelY + 1 21159 -0.29970150 -0.80930349 -17.171631 -46.369674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80917117--0.80930349) × R
    0.000132319999999964 × 6371000     		dl = 843.010719999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80917117--0.80930349) × R
    0.000132319999999964 × 6371000     		dr = 843.010719999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29989324--0.29970150) × cos(-0.80917117) × R
    0.000191739999999996 × 0.690098506993127 × 6371000     		do = 843.007456333304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29989324--0.29970150) × cos(-0.80930349) × R
    0.000191739999999996 × 0.690002738923915 × 6371000     		du = 842.890468402442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80917117)-sin(-0.80930349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690098506993127-0.690002738923915)×R²
    abs(-0.29970150--0.29989324)×9.57680692120766e-05×R²
    0.000191739999999996×9.57680692120766e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.57680692120766e-05×40589641000000     		ar = 710615.012726022m²