Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14819 / 8927
↖ ↑ ↗
← N 63.079840°
W 17.193603°		 ← 553.10 m → N 63.079840°
W 17.182617°		 →
↑
553.13 m
↓
↑
553.13 m
↓
N 63.074866°
W 17.193603°		 ← 553.19 m →
305 960 m²		 N 63.074866°
W 17.182617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452255249023438 y=0.272445678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452255249023438 × 215)
    floor (0.452255249023438 × 32768)
    floor (14819.5)     		tx = 14819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272445678710938 × 215)
    floor (0.272445678710938 × 32768)
    floor (8927.5)     		ty = 8927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14819 / 8927 ti = "15/14819/8927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14819/8927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14819 ÷ 215
    14819 ÷ 32768     		x = 0.452239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8927 ÷ 215
    8927 ÷ 32768     		y = 0.272430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.09552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30008499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272430419921875 × 2 - 1) × π
    0.45513916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42986184186704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30008499} λ = -0.30008499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42986184186704))-π/2
    2×atan(4.17812191052365)-π/2
    2×1.3358736145914-π/2
    2.67174722918281-1.57079632675     		φ = 1.10095090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30008499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.193603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10095090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.079840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14819 KachelY 8927 -0.30008499 1.10095090 -17.193603 63.079840
    Oben rechts KachelX + 1 14820 KachelY 8927 -0.29989324 1.10095090 -17.182617 63.079840
    Unten links KachelX 14819 KachelY + 1 8928 -0.30008499 1.10086408 -17.193603 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 14820 KachelY + 1 8928 -0.29989324 1.10086408 -17.182617 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10095090-1.10086408) × R
    8.6819999999932e-05 × 6371000     		dl = 553.130219999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10095090-1.10086408) × R
    8.6819999999932e-05 × 6371000     		dr = 553.130219999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30008499--0.29989324) × cos(1.10095090) × R
    0.000191749999999991 × 0.452748467401364 × 6371000     		do = 553.095298154825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30008499--0.29989324) × cos(1.10086408) × R
    0.000191749999999991 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 553.189865651294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10095090)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452748467401364-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.29989324--0.30008499)×7.74103291698025e-05×R²
    0.000191749999999991×7.74103291698025e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.74103291698025e-05×40589641000000     		ar = 305959.878211722m²