Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14819 / 10593
↖ ↑ ↗
← N 76.392019°
W 98.596802°		 ← 143.70 m → N 76.392019°
W 98.591309°		 →
↑
143.73 m
↓
↑
143.73 m
↓
N 76.390727°
W 98.596802°		 ← 143.72 m →
20 656 m²		 N 76.390727°
W 98.591309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226127624511719 y=0.161643981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226127624511719 × 216)
    floor (0.226127624511719 × 65536)
    floor (14819.5)     		tx = 14819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161643981933594 × 216)
    floor (0.161643981933594 × 65536)
    floor (10593.5)     		ty = 10593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14819 / 10593 ti = "16/14819/10593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14819/10593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14819 ÷ 216
    14819 ÷ 65536     		x = 0.226119995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10593 ÷ 216
    10593 ÷ 65536     		y = 0.161636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226119995117188 × 2 - 1) × π
    -0.547760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72083882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161636352539062 × 2 - 1) × π
    0.676727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12600149814949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72083882} λ = -1.72083882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12600149814949))-π/2
    2×atan(8.38128712987161)-π/2
    2×1.45204429294804-π/2
    2.90408858589608-1.57079632675     		φ = 1.33329226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72083882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33329226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.392019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14819 KachelY 10593 -1.72083882 1.33329226 -98.596802 76.392019
    Oben rechts KachelX + 1 14820 KachelY 10593 -1.72074295 1.33329226 -98.591309 76.392019
    Unten links KachelX 14819 KachelY + 1 10594 -1.72083882 1.33326970 -98.596802 76.390727
    Unten rechts KachelX + 1 14820 KachelY + 1 10594 -1.72074295 1.33326970 -98.591309 76.390727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33329226-1.33326970) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dl = 143.729759999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33329226-1.33326970) × R
    2.25599999998938e-05 × 6371000     		dr = 143.729759999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72083882--1.72074295) × cos(1.33329226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235277493833955 × 6371000     		do = 143.704615790027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72083882--1.72074295) × cos(1.33326970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235299420475142 × 6371000     		du = 143.718008314301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33329226)-sin(1.33326970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235277493833955-0.235299420475142)×R²
    abs(-1.72074295--1.72083882)×2.19266411871089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19266411871089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19266411871089e-05×40589641000000     		ar = 20655.5923916585m²