Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14818 / 7454
↖ ↑ ↗
← N 69.542199°
W 17.204590°		 ← 426.98 m → N 69.542199°
W 17.193603°		 →
↑
427.05 m
↓
↑
427.05 m
↓
N 69.538358°
W 17.204590°		 ← 427.06 m →
182 359 m²		 N 69.538358°
W 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452224731445312 y=0.227493286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452224731445312 × 215)
    floor (0.452224731445312 × 32768)
    floor (14818.5)     		tx = 14818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227493286132812 × 215)
    floor (0.227493286132812 × 32768)
    floor (7454.5)     		ty = 7454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14818 / 7454 ti = "15/14818/7454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14818/7454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14818 ÷ 215
    14818 ÷ 32768     		x = 0.45220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7454 ÷ 215
    7454 ÷ 32768     		y = 0.22747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30027674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22747802734375 × 2 - 1) × π
    0.5450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71230605442841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30027674} λ = -0.30027674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71230605442841))-π/2
    2×atan(5.54172627622733)-π/2
    2×1.39226833277776-π/2
    2.78453666555552-1.57079632675     		φ = 1.21374034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30027674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.204590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21374034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.542199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14818 KachelY 7454 -0.30027674 1.21374034 -17.204590 69.542199
    Oben rechts KachelX + 1 14819 KachelY 7454 -0.30008499 1.21374034 -17.193603 69.542199
    Unten links KachelX 14818 KachelY + 1 7455 -0.30027674 1.21367331 -17.204590 69.538358
    Unten rechts KachelX + 1 14819 KachelY + 1 7455 -0.30008499 1.21367331 -17.193603 69.538358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21374034-1.21367331) × R
    6.7030000000079e-05 × 6371000     		dl = 427.048130000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21374034-1.21367331) × R
    6.7030000000079e-05 × 6371000     		dr = 427.048130000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30027674--0.30008499) × cos(1.21374034) × R
    0.000191749999999991 × 0.349517418030748 × 6371000     		do = 426.984196424998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30027674--0.30008499) × cos(1.21367331) × R
    0.000191749999999991 × 0.349580219654449 × 6371000     		du = 427.060917353475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21374034)-sin(1.21367331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349517418030748-0.349580219654449)×R²
    abs(-0.30008499--0.30027674)×6.2801623701203e-05×R²
    0.000191749999999991×6.2801623701203e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.2801623701203e-05×40589641000000     		ar = 182359.184455355m²