Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14818 / 21148
↖ ↑ ↗
← S 46.286224°
W 17.204590°		 ← 844.22 m → S 46.286224°
W 17.193603°		 →
↑
844.09 m
↓
↑
844.09 m
↓
S 46.293815°
W 17.204590°		 ← 844.10 m →
712 553 m²		 S 46.293815°
W 17.193603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452224731445312 y=0.645401000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452224731445312 × 215)
    floor (0.452224731445312 × 32768)
    floor (14818.5)     		tx = 14818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645401000976562 × 215)
    floor (0.645401000976562 × 32768)
    floor (21148.5)     		ty = 21148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14818 / 21148 ti = "15/14818/21148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14818/21148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14818 ÷ 215
    14818 ÷ 32768     		x = 0.45220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21148 ÷ 215
    21148 ÷ 32768     		y = 0.6453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45220947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0955810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30027674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.91348555915979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30027674} λ = -0.30027674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91348555915979))-π/2
    2×atan(0.401123644357163)-π/2
    2×0.38147466056366-π/2
    0.762949321127319-1.57079632675     		φ = -0.80784701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30027674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.204590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80784701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.286224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14818 KachelY 21148 -0.30027674 -0.80784701 -17.204590 -46.286224
    Oben rechts KachelX + 1 14819 KachelY 21148 -0.30008499 -0.80784701 -17.193603 -46.286224
    Unten links KachelX 14818 KachelY + 1 21149 -0.30027674 -0.80797950 -17.204590 -46.293815
    Unten rechts KachelX + 1 14819 KachelY + 1 21149 -0.30008499 -0.80797950 -17.193603 -46.293815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80784701--0.80797950) × R
    0.00013248999999993 × 6371000     		dl = 844.093789999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80784701--0.80797950) × R
    0.00013248999999993 × 6371000     		dr = 844.093789999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30027674--0.30008499) × cos(-0.80784701) × R
    0.000191749999999991 × 0.691056216752417 × 6371000     		do = 844.221398341219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30027674--0.30008499) × cos(-0.80797950) × R
    0.000191749999999991 × 0.690960446781141 × 6371000     		du = 844.104401985336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80784701)-sin(-0.80797950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691056216752417-0.690960446781141)×R²
    abs(-0.30008499--0.30027674)×9.57699712763604e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57699712763604e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57699712763604e-05×40589641000000     		ar = 712552.662818131m²