Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14817 / 6818
↖ ↑ ↗
← N 71.849385°
W 17.215576°		 ← 380.56 m → N 71.849385°
W 17.204590°		 →
↑
380.60 m
↓
↑
380.60 m
↓
N 71.845963°
W 17.215576°		 ← 380.63 m →
144 856 m²		 N 71.845963°
W 17.204590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452194213867188 y=0.208084106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452194213867188 × 215)
    floor (0.452194213867188 × 32768)
    floor (14817.5)     		tx = 14817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208084106445312 × 215)
    floor (0.208084106445312 × 32768)
    floor (6818.5)     		ty = 6818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14817 / 6818 ti = "15/14817/6818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14817/6818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14817 ÷ 215
    14817 ÷ 32768     		x = 0.452178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6818 ÷ 215
    6818 ÷ 32768     		y = 0.20806884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.09564208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30046849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20806884765625 × 2 - 1) × π
    0.5838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83425752706183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30046849} λ = -0.30046849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83425752706183))-π/2
    2×atan(6.26048417932933)-π/2
    2×1.41240233285676-π/2
    2.82480466571351-1.57079632675     		φ = 1.25400834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30046849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.215576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25400834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.849385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14817 KachelY 6818 -0.30046849 1.25400834 -17.215576 71.849385
    Oben rechts KachelX + 1 14818 KachelY 6818 -0.30027674 1.25400834 -17.204590 71.849385
    Unten links KachelX 14817 KachelY + 1 6819 -0.30046849 1.25394860 -17.215576 71.845963
    Unten rechts KachelX + 1 14818 KachelY + 1 6819 -0.30027674 1.25394860 -17.204590 71.845963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25400834-1.25394860) × R
    5.97399999999748e-05 × 6371000     		dl = 380.60353999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25400834-1.25394860) × R
    5.97399999999748e-05 × 6371000     		dr = 380.60353999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30046849--0.30027674) × cos(1.25400834) × R
    0.000191749999999991 × 0.311515986466436 × 6371000     		do = 380.560156069848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30046849--0.30027674) × cos(1.25394860) × R
    0.000191749999999991 × 0.311572753302584 × 6371000     		du = 380.629504664986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25400834)-sin(1.25394860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311515986466436-0.311572753302584)×R²
    abs(-0.30027674--0.30046849)×5.67668361485807e-05×R²
    0.000191749999999991×5.67668361485807e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.67668361485807e-05×40589641000000     		ar = 144855.73978646m²