Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14816 / 7455
↖ ↑ ↗
← N 69.538358°
W 17.226562°		 ← 427.04 m → N 69.538358°
W 17.215576°		 →
↑
427.05 m
↓
↑
427.05 m
↓
N 69.534518°
W 17.226562°		 ← 427.12 m →
182 382 m²		 N 69.534518°
W 17.215576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452163696289062 y=0.227523803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452163696289062 × 215)
    floor (0.452163696289062 × 32768)
    floor (14816.5)     		tx = 14816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227523803710938 × 215)
    floor (0.227523803710938 × 32768)
    floor (7455.5)     		ty = 7455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14816 / 7455 ti = "15/14816/7455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14816/7455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14816 ÷ 215
    14816 ÷ 32768     		x = 0.4521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7455 ÷ 215
    7455 ÷ 32768     		y = 0.227508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4521484375 × 2 - 1) × π
    -0.095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30066023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227508544921875 × 2 - 1) × π
    0.54498291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71211430682993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30066023} λ = -0.30066023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71211430682993))-π/2
    2×atan(5.54066376539263)-π/2
    2×1.39223482020466-π/2
    2.78446964040932-1.57079632675     		φ = 1.21367331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30066023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.226562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21367331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.538358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14816 KachelY 7455 -0.30066023 1.21367331 -17.226562 69.538358
    Oben rechts KachelX + 1 14817 KachelY 7455 -0.30046849 1.21367331 -17.215576 69.538358
    Unten links KachelX 14816 KachelY + 1 7456 -0.30066023 1.21360628 -17.226562 69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 14817 KachelY + 1 7456 -0.30046849 1.21360628 -17.215576 69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21367331-1.21360628) × R
    6.70299999998569e-05 × 6371000     		dl = 427.048129999088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21367331-1.21360628) × R
    6.70299999998569e-05 × 6371000     		dr = 427.048129999088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30066023--0.30046849) × cos(1.21367331) × R
    0.000191739999999996 × 0.349580219654449 × 6371000     		do = 427.038645597692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30066023--0.30046849) × cos(1.21360628) × R
    0.000191739999999996 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 427.115360606384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21367331)-sin(1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349580219654449-0.349643019707478)×R²
    abs(-0.30046849--0.30066023)×6.28000530297212e-05×R²
    0.000191739999999996×6.28000530297212e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.28000530297212e-05×40589641000000     		ar = 182382.435608444m²