Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 14816 / 14624
↖ ↑ ↗
← S 80.297927°
E145.546875°		 ← 411.75 m → S 80.297927°
E145.568848°		 →
↑
411.69 m
↓
↑
411.69 m
↓
S 80.301630°
E145.546875°		 ← 411.60 m →
169 484 m²		 S 80.301630°
E145.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904327392578125 y=0.892608642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904327392578125 × 214)
    floor (0.904327392578125 × 16384)
    floor (14816.5)     		tx = 14816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892608642578125 × 214)
    floor (0.892608642578125 × 16384)
    floor (14624.5)     		ty = 14624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14816 / 14624 ti = "14/14816/14624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14816/14624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14816 ÷ 214
    14816 ÷ 16384     		x = 0.904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14624 ÷ 214
    14624 ÷ 16384     		y = 0.892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904296875 × 2 - 1) × π
    0.80859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54027218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892578125 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54027218} λ = 2.54027218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46664110684961))-π/2
    2×atan(0.0848694481898644)-π/2
    2×0.0846665577565924-π/2
    0.169333115513185-1.57079632675     		φ = -1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54027218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14816 KachelY 14624 2.54027218 -1.40146321 145.546875 -80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 14817 KachelY 14624 2.54065568 -1.40146321 145.568848 -80.297927
    Unten links KachelX 14816 KachelY + 1 14625 2.54027218 -1.40152783 145.546875 -80.301630
    Unten rechts KachelX + 1 14817 KachelY + 1 14625 2.54065568 -1.40152783 145.568848 -80.301630
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40146321--1.40152783) × R
    6.46200000000707e-05 × 6371000     		dl = 411.694020000451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40146321--1.40152783) × R
    6.46200000000707e-05 × 6371000     		dr = 411.694020000451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54027218-2.54065568) × cos(-1.40146321) × R
    0.00038349999999987 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 411.753610772004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54027218-2.54065568) × cos(-1.40152783) × R
    0.00038349999999987 × 0.168461345450921 × 6371000     		du = 411.597983421169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40146321)-sin(-1.40152783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168461345450921)×R²
    abs(2.54065568-2.54027218)×6.36961160323801e-05×R²
    0.00038349999999987×6.36961160323801e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.36961160323801e-05×40589641000000     		ar = 169484.463902658m²