Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14814 / 21150
↖ ↑ ↗
← S 46.301406°
W 17.248535°		 ← 843.99 m → S 46.301406°
W 17.237549°		 →
↑
843.90 m
↓
↑
843.90 m
↓
S 46.308996°
W 17.248535°		 ← 843.87 m →
712 194 m²		 S 46.308996°
W 17.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452102661132812 y=0.645462036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452102661132812 × 215)
    floor (0.452102661132812 × 32768)
    floor (14814.5)     		tx = 14814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645462036132812 × 215)
    floor (0.645462036132812 × 32768)
    floor (21150.5)     		ty = 21150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14814 / 21150 ti = "15/14814/21150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14814/21150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14814 ÷ 215
    14814 ÷ 32768     		x = 0.45208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21150 ÷ 215
    21150 ÷ 32768     		y = 0.64544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.0958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30104373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.2908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.91386905435675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30104373} λ = -0.30104373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.91386905435675))-π/2
    2×atan(0.400969844858734)-π/2
    2×0.381342170557981-π/2
    0.762684341115962-1.57079632675     		φ = -0.80811199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30104373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.248535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80811199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.301406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14814 KachelY 21150 -0.30104373 -0.80811199 -17.248535 -46.301406
    Oben rechts KachelX + 1 14815 KachelY 21150 -0.30085198 -0.80811199 -17.237549 -46.301406
    Unten links KachelX 14814 KachelY + 1 21151 -0.30104373 -0.80824445 -17.248535 -46.308996
    Unten rechts KachelX + 1 14815 KachelY + 1 21151 -0.30085198 -0.80824445 -17.237549 -46.308996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80811199--0.80824445) × R
    0.000132460000000001 × 6371000     		dl = 843.902660000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80811199--0.80824445) × R
    0.000132460000000001 × 6371000     		dr = 843.902660000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30104373--0.30085198) × cos(-0.80811199) × R
    0.000191749999999991 × 0.690864664681021 × 6371000     		do = 843.987390812383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30104373--0.30085198) × cos(-0.80824445) × R
    0.000191749999999991 × 0.690768892146008 × 6371000     		du = 843.870391324539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80811199)-sin(-0.80824445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690864664681021-0.690768892146008)×R²
    abs(-0.30085198--0.30104373)×9.57725350131389e-05×R²
    0.000191749999999991×9.57725350131389e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.57725350131389e-05×40589641000000     		ar = 712193.837064847m²