Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14814 / 20446
↖ ↑ ↗
← S 40.697299°
W 17.248535°		 ← 926.20 m → S 40.697299°
W 17.237549°		 →
↑
926.15 m
↓
↑
926.15 m
↓
S 40.705628°
W 17.248535°		 ← 926.09 m →
857 753 m²		 S 40.705628°
W 17.237549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452102661132812 y=0.623977661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452102661132812 × 215)
    floor (0.452102661132812 × 32768)
    floor (14814.5)     		tx = 14814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623977661132812 × 215)
    floor (0.623977661132812 × 32768)
    floor (20446.5)     		ty = 20446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14814 / 20446 ti = "15/14814/20446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14814/20446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14814 ÷ 215
    14814 ÷ 32768     		x = 0.45208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20446 ÷ 215
    20446 ÷ 32768     		y = 0.62396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45208740234375 × 2 - 1) × π
    -0.0958251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30104373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.2479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.778878745026672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30104373} λ = -0.30104373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.778878745026672))-π/2
    2×atan(0.458920289589865)-π/2
    2×0.43024723122122-π/2
    0.86049446244244-1.57079632675     		φ = -0.71030186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30104373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.248535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71030186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.697299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14814 KachelY 20446 -0.30104373 -0.71030186 -17.248535 -40.697299
    Oben rechts KachelX + 1 14815 KachelY 20446 -0.30085198 -0.71030186 -17.237549 -40.697299
    Unten links KachelX 14814 KachelY + 1 20447 -0.30104373 -0.71044723 -17.248535 -40.705628
    Unten rechts KachelX + 1 14815 KachelY + 1 20447 -0.30085198 -0.71044723 -17.237549 -40.705628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71030186--0.71044723) × R
    0.000145370000000034 × 6371000     		dl = 926.152270000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71030186--0.71044723) × R
    0.000145370000000034 × 6371000     		dr = 926.152270000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30104373--0.30085198) × cos(-0.71030186) × R
    0.000191749999999991 × 0.758165078900614 × 6371000     		do = 926.204218364291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30104373--0.30085198) × cos(-0.71044723) × R
    0.000191749999999991 × 0.758070280541062 × 6371000     		du = 926.088408967427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71030186)-sin(-0.71044723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.758165078900614-0.758070280541062)×R²
    abs(-0.30085198--0.30104373)×9.47983595517288e-05×R²
    0.000191749999999991×9.47983595517288e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.47983595517288e-05×40589641000000     		ar = 857752.512264973m²