Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14813 / 21151
↖ ↑ ↗
← S 46.308996°
W 17.259522°		 ← 843.87 m → S 46.308996°
W 17.248535°		 →
↑
843.78 m
↓
↑
843.78 m
↓
S 46.316584°
W 17.259522°		 ← 843.75 m →
711 988 m²		 S 46.316584°
W 17.248535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452072143554688 y=0.645492553710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452072143554688 × 215)
    floor (0.452072143554688 × 32768)
    floor (14813.5)     		tx = 14813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645492553710938 × 215)
    floor (0.645492553710938 × 32768)
    floor (21151.5)     		ty = 21151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14813 / 21151 ti = "15/14813/21151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14813/21151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14813 ÷ 215
    14813 ÷ 32768     		x = 0.452056884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21151 ÷ 215
    21151 ÷ 32768     		y = 0.645477294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452056884765625 × 2 - 1) × π
    -0.09588623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30123548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.29095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.914060801955231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30123548} λ = -0.30123548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914060801955231))-π/2
    2×atan(0.400892967224705)-π/2
    2×0.381275939328651-π/2
    0.762551878657301-1.57079632675     		φ = -0.80824445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30123548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.259522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80824445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.308996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14813 KachelY 21151 -0.30123548 -0.80824445 -17.259522 -46.308996
    Oben rechts KachelX + 1 14814 KachelY 21151 -0.30104373 -0.80824445 -17.248535 -46.308996
    Unten links KachelX 14813 KachelY + 1 21152 -0.30123548 -0.80837689 -17.259522 -46.316584
    Unten rechts KachelX + 1 14814 KachelY + 1 21152 -0.30104373 -0.80837689 -17.248535 -46.316584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80824445--0.80837689) × R
    0.000132440000000011 × 6371000     		dl = 843.775240000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80824445--0.80837689) × R
    0.000132440000000011 × 6371000     		dr = 843.775240000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30123548--0.30104373) × cos(-0.80824445) × R
    0.000191749999999991 × 0.690768892146008 × 6371000     		do = 843.870391324539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30123548--0.30104373) × cos(-0.80837689) × R
    0.000191749999999991 × 0.690673121954347 × 6371000     		du = 843.753394699425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80824445)-sin(-0.80837689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690768892146008-0.690673121954347)×R²
    abs(-0.30104373--0.30123548)×9.5770191661515e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5770191661515e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5770191661515e-05×40589641000000     		ar = 711987.583581266m²