Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14812 / 9673
↖ ↑ ↗
← N 59.125226°
W 17.270508°		 ← 626.87 m → N 59.125226°
W 17.259522°		 →
↑
626.97 m
↓
↑
626.97 m
↓
N 59.119587°
W 17.270508°		 ← 626.97 m →
393 060 m²		 N 59.119587°
W 17.259522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452041625976562 y=0.295211791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452041625976562 × 215)
    floor (0.452041625976562 × 32768)
    floor (14812.5)     		tx = 14812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295211791992188 × 215)
    floor (0.295211791992188 × 32768)
    floor (9673.5)     		ty = 9673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14812 / 9673 ti = "15/14812/9673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14812/9673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14812 ÷ 215
    14812 ÷ 32768     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9673 ÷ 215
    9673 ÷ 32768     		y = 0.295196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295196533203125 × 2 - 1) × π
    0.40960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28681813340079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28681813340079))-π/2
    2×atan(3.62124588372516)-π/2
    2×1.30136309380623-π/2
    2.60272618761246-1.57079632675     		φ = 1.03192986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03192986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.125226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14812 KachelY 9673 -0.30142722 1.03192986 -17.270508 59.125226
    Oben rechts KachelX + 1 14813 KachelY 9673 -0.30123548 1.03192986 -17.259522 59.125226
    Unten links KachelX 14812 KachelY + 1 9674 -0.30142722 1.03183145 -17.270508 59.119587
    Unten rechts KachelX + 1 14813 KachelY + 1 9674 -0.30123548 1.03183145 -17.259522 59.119587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03192986-1.03183145) × R
    9.84099999998822e-05 × 6371000     		dl = 626.97010999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03192986-1.03183145) × R
    9.84099999998822e-05 × 6371000     		dr = 626.97010999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(1.03192986) × R
    0.000191739999999996 × 0.51316342028469 × 6371000     		do = 626.867882242503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(1.03183145) × R
    0.000191739999999996 × 0.51324788220916 × 6371000     		du = 626.971058863497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03192986)-sin(1.03183145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51316342028469-0.51324788220916)×R²
    abs(-0.30123548--0.30142722)×8.44619244696476e-05×R²
    0.000191739999999996×8.44619244696476e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.44619244696476e-05×40589641000000     		ar = 393059.769730424m²