Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14812 / 8825
↖ ↑ ↗
← N 63.582788°
W 17.270508°		 ← 543.48 m → N 63.582788°
W 17.259522°		 →
↑
543.57 m
↓
↑
543.57 m
↓
N 63.577900°
W 17.270508°		 ← 543.58 m →
295 449 m²		 N 63.577900°
W 17.259522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452041625976562 y=0.269332885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452041625976562 × 215)
    floor (0.452041625976562 × 32768)
    floor (14812.5)     		tx = 14812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269332885742188 × 215)
    floor (0.269332885742188 × 32768)
    floor (8825.5)     		ty = 8825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14812 / 8825 ti = "15/14812/8825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14812/8825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14812 ÷ 215
    14812 ÷ 32768     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8825 ÷ 215
    8825 ÷ 32768     		y = 0.269317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269317626953125 × 2 - 1) × π
    0.46136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44942009691202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44942009691202))-π/2
    2×atan(4.26064303857476)-π/2
    2×1.34026266118166-π/2
    2.68052532236332-1.57079632675     		φ = 1.10972900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10972900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.582788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14812 KachelY 8825 -0.30142722 1.10972900 -17.270508 63.582788
    Oben rechts KachelX + 1 14813 KachelY 8825 -0.30123548 1.10972900 -17.259522 63.582788
    Unten links KachelX 14812 KachelY + 1 8826 -0.30142722 1.10964368 -17.270508 63.577900
    Unten rechts KachelX + 1 14813 KachelY + 1 8826 -0.30123548 1.10964368 -17.259522 63.577900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10972900-1.10964368) × R
    8.53199999999443e-05 × 6371000     		dl = 543.573719999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10972900-1.10964368) × R
    8.53199999999443e-05 × 6371000     		dr = 543.573719999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(1.10972900) × R
    0.000191739999999996 × 0.444904234754362 × 6371000     		do = 543.484130818335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(1.10964368) × R
    0.000191739999999996 × 0.444980643862646 × 6371000     		du = 543.577470316047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10972900)-sin(1.10964368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444904234754362-0.444980643862646)×R²
    abs(-0.30123548--0.30142722)×7.64091082836038e-05×R²
    0.000191739999999996×7.64091082836038e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.64091082836038e-05×40589641000000     		ar = 295449.059377257m²