Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14812 / 21396
↖ ↑ ↗
← S 48.136767°
W 17.270508°		 ← 815.22 m → S 48.136767°
W 17.259522°		 →
↑
815.17 m
↓
↑
815.17 m
↓
S 48.144098°
W 17.270508°		 ← 815.11 m →
664 498 m²		 S 48.144098°
W 17.259522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452041625976562 y=0.652969360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452041625976562 × 215)
    floor (0.452041625976562 × 32768)
    floor (14812.5)     		tx = 14812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652969360351562 × 215)
    floor (0.652969360351562 × 32768)
    floor (21396.5)     		ty = 21396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14812 / 21396 ti = "15/14812/21396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14812/21396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14812 ÷ 215
    14812 ÷ 32768     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21396 ÷ 215
    21396 ÷ 32768     		y = 0.6529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.961038963582886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961038963582886))-π/2
    2×atan(0.382495280794855)-π/2
    2×0.365325628494146-π/2
    0.730651256988292-1.57079632675     		φ = -0.84014507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84014507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.136767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14812 KachelY 21396 -0.30142722 -0.84014507 -17.270508 -48.136767
    Oben rechts KachelX + 1 14813 KachelY 21396 -0.30123548 -0.84014507 -17.259522 -48.136767
    Unten links KachelX 14812 KachelY + 1 21397 -0.30142722 -0.84027302 -17.270508 -48.144098
    Unten rechts KachelX + 1 14813 KachelY + 1 21397 -0.30123548 -0.84027302 -17.259522 -48.144098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84014507--0.84027302) × R
    0.000127949999999988 × 6371000     		dl = 815.169449999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84014507--0.84027302) × R
    0.000127949999999988 × 6371000     		dr = 815.169449999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(-0.84014507) × R
    0.000191739999999996 × 0.667354793440794 × 6371000     		do = 815.224292169008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30123548) × cos(-0.84027302) × R
    0.000191739999999996 × 0.667259498502907 × 6371000     		du = 815.107882203799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84014507)-sin(-0.84027302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667354793440794-0.667259498502907)×R²
    abs(-0.30123548--0.30142722)×9.52949378869583e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52949378869583e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52949378869583e-05×40589641000000     		ar = 664498.491857322m²