Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14812 / 14891
↖ ↑ ↗
← S 81.238313°
E145.458984°		 ← 372.17 m → S 81.238313°
E145.480957°		 →
↑
372.13 m
↓
↑
372.13 m
↓
S 81.241660°
E145.458984°		 ← 372.03 m →
138 470 m²		 S 81.241660°
E145.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.904083251953125 y=0.908905029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.904083251953125 × 214)
    floor (0.904083251953125 × 16384)
    floor (14812.5)     		tx = 14812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908905029296875 × 214)
    floor (0.908905029296875 × 16384)
    floor (14891.5)     		ty = 14891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14812 / 14891 ti = "14/14812/14891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14812/14891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14812 ÷ 214
    14812 ÷ 16384     		x = 0.904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14891 ÷ 214
    14891 ÷ 16384     		y = 0.90887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.904052734375 × 2 - 1) × π
    0.80810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.53873820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.8177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56903432443805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53873820} λ = 2.53873820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56903432443805))-π/2
    2×atan(0.0766094896270566)-π/2
    2×0.076460141139178-π/2
    0.152920282278356-1.57079632675     		φ = -1.41787604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53873820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41787604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.238313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14812 KachelY 14891 2.53873820 -1.41787604 145.458984 -81.238313
    Oben rechts KachelX + 1 14813 KachelY 14891 2.53912170 -1.41787604 145.480957 -81.238313
    Unten links KachelX 14812 KachelY + 1 14892 2.53873820 -1.41793445 145.458984 -81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 14813 KachelY + 1 14892 2.53912170 -1.41793445 145.480957 -81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41787604--1.41793445) × R
    5.84100000000642e-05 × 6371000     		dl = 372.130110000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41787604--1.41793445) × R
    5.84100000000642e-05 × 6371000     		dr = 372.130110000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53873820-2.53912170) × cos(-1.41787604) × R
    0.00038349999999987 × 0.152324986282199 × 6371000     		do = 372.172363995966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53873820-2.53912170) × cos(-1.41793445) × R
    0.00038349999999987 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 372.03131684615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41787604)-sin(-1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152324986282199-0.152267257640206)×R²
    abs(2.53912170-2.53873820)×5.77286419930767e-05×R²
    0.00038349999999987×5.77286419930767e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.77286419930767e-05×40589641000000     		ar = 138470.298846961m²