Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14811 / 9690
↖ ↑ ↗
← N 59.029250°
W 17.281494°		 ← 628.66 m → N 59.029250°
W 17.270508°		 →
↑
628.75 m
↓
↑
628.75 m
↓
N 59.023595°
W 17.281494°		 ← 628.76 m →
395 303 m²		 N 59.023595°
W 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452011108398438 y=0.295730590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452011108398438 × 215)
    floor (0.452011108398438 × 32768)
    floor (14811.5)     		tx = 14811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295730590820312 × 215)
    floor (0.295730590820312 × 32768)
    floor (9690.5)     		ty = 9690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14811 / 9690 ti = "15/14811/9690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14811/9690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14811 ÷ 215
    14811 ÷ 32768     		x = 0.451995849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9690 ÷ 215
    9690 ÷ 32768     		y = 0.29571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451995849609375 × 2 - 1) × π
    -0.09600830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30161897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29571533203125 × 2 - 1) × π
    0.4085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28355842422662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30161897} λ = -0.30161897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28355842422662))-π/2
    2×atan(3.60946089355169)-π/2
    2×1.30052554134685-π/2
    2.6010510826937-1.57079632675     		φ = 1.03025476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30161897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.281494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03025476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.029250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14811 KachelY 9690 -0.30161897 1.03025476 -17.281494 59.029250
    Oben rechts KachelX + 1 14812 KachelY 9690 -0.30142722 1.03025476 -17.270508 59.029250
    Unten links KachelX 14811 KachelY + 1 9691 -0.30161897 1.03015607 -17.281494 59.023595
    Unten rechts KachelX + 1 14812 KachelY + 1 9691 -0.30142722 1.03015607 -17.270508 59.023595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03025476-1.03015607) × R
    9.86899999999569e-05 × 6371000     		dl = 628.753989999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03025476-1.03015607) × R
    9.86899999999569e-05 × 6371000     		dr = 628.753989999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30161897--0.30142722) × cos(1.03025476) × R
    0.000191749999999991 × 0.514600422775277 × 6371000     		do = 628.656074528841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30161897--0.30142722) × cos(1.03015607) × R
    0.000191749999999991 × 0.514685040047317 × 6371000     		du = 628.759446309593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03025476)-sin(1.03015607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514600422775277-0.514685040047317)×R²
    abs(-0.30142722--0.30161897)×8.46172720403437e-05×R²
    0.000191749999999991×8.46172720403437e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.46172720403437e-05×40589641000000     		ar = 395302.513227755m²