Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14810 / 9678
↖ ↑ ↗
← N 59.097025°
W 17.292480°		 ← 627.42 m → N 59.097025°
W 17.281494°		 →
↑
627.48 m
↓
↑
627.48 m
↓
N 59.091382°
W 17.292480°		 ← 627.52 m →
393 724 m²		 N 59.091382°
W 17.281494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451980590820312 y=0.295364379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451980590820312 × 215)
    floor (0.451980590820312 × 32768)
    floor (14810.5)     		tx = 14810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295364379882812 × 215)
    floor (0.295364379882812 × 32768)
    floor (9678.5)     		ty = 9678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14810 / 9678 ti = "15/14810/9678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14810/9678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14810 ÷ 215
    14810 ÷ 32768     		x = 0.45196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9678 ÷ 215
    9678 ÷ 32768     		y = 0.29534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45196533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0960693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30181072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29534912109375 × 2 - 1) × π
    0.4093017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28585939540839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30181072} λ = -0.30181072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28585939540839))-π/2
    2×atan(3.61777572147061)-π/2
    2×1.30111699794351-π/2
    2.60223399588702-1.57079632675     		φ = 1.03143767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30181072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.292480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03143767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.097025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14810 KachelY 9678 -0.30181072 1.03143767 -17.292480 59.097025
    Oben rechts KachelX + 1 14811 KachelY 9678 -0.30161897 1.03143767 -17.281494 59.097025
    Unten links KachelX 14810 KachelY + 1 9679 -0.30181072 1.03133918 -17.292480 59.091382
    Unten rechts KachelX + 1 14811 KachelY + 1 9679 -0.30161897 1.03133918 -17.281494 59.091382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03143767-1.03133918) × R
    9.84900000000621e-05 × 6371000     		dl = 627.479790000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03143767-1.03133918) × R
    9.84900000000621e-05 × 6371000     		dr = 627.479790000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30181072--0.30161897) × cos(1.03143767) × R
    0.000191749999999991 × 0.513585800318584 × 6371000     		do = 627.416571911813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30181072--0.30161897) × cos(1.03133918) × R
    0.000191749999999991 × 0.513670306013995 × 6371000     		du = 627.519807386176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03143767)-sin(1.03133918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513585800318584-0.513670306013995)×R²
    abs(-0.30161897--0.30181072)×8.45056954109635e-05×R²
    0.000191749999999991×8.45056954109635e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.45056954109635e-05×40589641000000     		ar = 393723.608190938m²