Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14809 / 8823
↖ ↑ ↗
← N 63.592562°
W 17.303467°		 ← 543.33 m → N 63.592562°
W 17.292480°		 →
↑
543.32 m
↓
↑
543.32 m
↓
N 63.587675°
W 17.303467°		 ← 543.42 m →
295 225 m²		 N 63.587675°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451950073242188 y=0.269271850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451950073242188 × 215)
    floor (0.451950073242188 × 32768)
    floor (14809.5)     		tx = 14809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269271850585938 × 215)
    floor (0.269271850585938 × 32768)
    floor (8823.5)     		ty = 8823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14809 / 8823 ti = "15/14809/8823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14809/8823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14809 ÷ 215
    14809 ÷ 32768     		x = 0.451934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8823 ÷ 215
    8823 ÷ 32768     		y = 0.269256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269256591796875 × 2 - 1) × π
    0.46148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44980359210898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30200247} λ = -0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44980359210898))-π/2
    2×atan(4.26227728805941)-π/2
    2×1.34034795585251-π/2
    2.68069591170502-1.57079632675     		φ = 1.10989958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10989958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.592562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14809 KachelY 8823 -0.30200247 1.10989958 -17.303467 63.592562
    Oben rechts KachelX + 1 14810 KachelY 8823 -0.30181072 1.10989958 -17.292480 63.592562
    Unten links KachelX 14809 KachelY + 1 8824 -0.30200247 1.10981430 -17.303467 63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 14810 KachelY + 1 8824 -0.30181072 1.10981430 -17.292480 63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10989958-1.10981430) × R
    8.52799999999654e-05 × 6371000     		dl = 543.318879999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10989958-1.10981430) × R
    8.52799999999654e-05 × 6371000     		dr = 543.318879999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30200247--0.30181072) × cos(1.10989958) × R
    0.000191750000000046 × 0.444751460561549 × 6371000     		do = 543.325840716946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30200247--0.30181072) × cos(1.10981430) × R
    0.000191750000000046 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 543.419149227432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10989958)-sin(1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444751460561549-0.444827840319719)×R²
    abs(-0.30181072--0.30200247)×7.63797581697645e-05×R²
    0.000191750000000046×7.63797581697645e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.63797581697645e-05×40589641000000     		ar = 295224.535570578m²