Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14809 / 21371
↖ ↑ ↗
← S 47.953145°
W 17.303467°		 ← 818.18 m → S 47.953145°
W 17.292480°		 →
↑
818.10 m
↓
↑
818.10 m
↓
S 47.960503°
W 17.303467°		 ← 818.06 m →
669 304 m²		 S 47.960503°
W 17.292480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451950073242188 y=0.652206420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451950073242188 × 215)
    floor (0.451950073242188 × 32768)
    floor (14809.5)     		tx = 14809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652206420898438 × 215)
    floor (0.652206420898438 × 32768)
    floor (21371.5)     		ty = 21371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14809 / 21371 ti = "15/14809/21371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14809/21371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14809 ÷ 215
    14809 ÷ 32768     		x = 0.451934814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21371 ÷ 215
    21371 ÷ 32768     		y = 0.652191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451934814453125 × 2 - 1) × π
    -0.09613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30200247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652191162109375 × 2 - 1) × π
    -0.30438232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.95624527362088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30200247} λ = -0.30200247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.95624527362088))-π/2
    2×atan(0.384333246381888)-π/2
    2×0.366928030373444-π/2
    0.733856060746888-1.57079632675     		φ = -0.83694027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30200247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.303467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83694027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.953145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14809 KachelY 21371 -0.30200247 -0.83694027 -17.303467 -47.953145
    Oben rechts KachelX + 1 14810 KachelY 21371 -0.30181072 -0.83694027 -17.292480 -47.953145
    Unten links KachelX 14809 KachelY + 1 21372 -0.30200247 -0.83706868 -17.303467 -47.960503
    Unten rechts KachelX + 1 14810 KachelY + 1 21372 -0.30181072 -0.83706868 -17.292480 -47.960503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83694027--0.83706868) × R
    0.000128409999999968 × 6371000     		dl = 818.100109999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83694027--0.83706868) × R
    0.000128409999999968 × 6371000     		dr = 818.100109999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30200247--0.30181072) × cos(-0.83694027) × R
    0.000191750000000046 × 0.669738104806137 × 6371000     		do = 818.178356051987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30200247--0.30181072) × cos(-0.83706868) × R
    0.000191750000000046 × 0.669642742354945 × 6371000     		du = 818.061857538635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83694027)-sin(-0.83706868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669738104806137-0.669642742354945)×R²
    abs(-0.30181072--0.30200247)×9.53624511915718e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53624511915718e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53624511915718e-05×40589641000000     		ar = 669304.150282034m²