Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14808 / 8821
↖ ↑ ↗
← N 63.602333°
W 17.314453°		 ← 543.14 m → N 63.602333°
W 17.303467°		 →
↑
543.19 m
↓
↑
543.19 m
↓
N 63.597448°
W 17.314453°		 ← 543.23 m →
295 054 m²		 N 63.597448°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451919555664062 y=0.269210815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451919555664062 × 215)
    floor (0.451919555664062 × 32768)
    floor (14808.5)     		tx = 14808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269210815429688 × 215)
    floor (0.269210815429688 × 32768)
    floor (8821.5)     		ty = 8821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14808 / 8821 ti = "15/14808/8821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14808/8821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14808 ÷ 215
    14808 ÷ 32768     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8821 ÷ 215
    8821 ÷ 32768     		y = 0.269195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269195556640625 × 2 - 1) × π
    0.46160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45018708730594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45018708730594))-π/2
    2×atan(4.26391216439106)-π/2
    2×1.34043322123147-π/2
    2.68086644246293-1.57079632675     		φ = 1.11007012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11007012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.602333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14808 KachelY 8821 -0.30219422 1.11007012 -17.314453 63.602333
    Oben rechts KachelX + 1 14809 KachelY 8821 -0.30200247 1.11007012 -17.303467 63.602333
    Unten links KachelX 14808 KachelY + 1 8822 -0.30219422 1.10998486 -17.314453 63.597448
    Unten rechts KachelX + 1 14809 KachelY + 1 8822 -0.30200247 1.10998486 -17.303467 63.597448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11007012-1.10998486) × R
    8.52600000000869e-05 × 6371000     		dl = 543.191460000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11007012-1.10998486) × R
    8.52600000000869e-05 × 6371000     		dr = 543.191460000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(1.11007012) × R
    0.000191749999999991 × 0.444598709256759 × 6371000     		do = 543.139233727369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(1.10998486) × R
    0.000191749999999991 × 0.444675077568845 × 6371000     		du = 543.232528254869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11007012)-sin(1.10998486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444598709256759-0.444675077568845)×R²
    abs(-0.30200247--0.30219422)×7.6368312085684e-05×R²
    0.000191749999999991×7.6368312085684e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.6368312085684e-05×40589641000000     		ar = 295053.931925961m²