Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14808 / 21467
↖ ↑ ↗
← S 48.654686°
W 17.314453°		 ← 807.01 m → S 48.654686°
W 17.303467°		 →
↑
806.95 m
↓
↑
806.95 m
↓
S 48.661943°
W 17.314453°		 ← 806.89 m →
651 170 m²		 S 48.661943°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451919555664062 y=0.655136108398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451919555664062 × 215)
    floor (0.451919555664062 × 32768)
    floor (14808.5)     		tx = 14808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655136108398438 × 215)
    floor (0.655136108398438 × 32768)
    floor (21467.5)     		ty = 21467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14808 / 21467 ti = "15/14808/21467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14808/21467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14808 ÷ 215
    14808 ÷ 32768     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21467 ÷ 215
    21467 ÷ 32768     		y = 0.655120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.31024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.974653043074982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974653043074982))-π/2
    2×atan(0.377323245767955)-π/2
    2×0.360805931119599-π/2
    0.721611862239198-1.57079632675     		φ = -0.84918446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84918446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.654686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14808 KachelY 21467 -0.30219422 -0.84918446 -17.314453 -48.654686
    Oben rechts KachelX + 1 14809 KachelY 21467 -0.30200247 -0.84918446 -17.303467 -48.654686
    Unten links KachelX 14808 KachelY + 1 21468 -0.30219422 -0.84931112 -17.314453 -48.661943
    Unten rechts KachelX + 1 14809 KachelY + 1 21468 -0.30200247 -0.84931112 -17.303467 -48.661943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84918446--0.84931112) × R
    0.000126659999999945 × 6371000     		dl = 806.950859999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84918446--0.84931112) × R
    0.000126659999999945 × 6371000     		dr = 806.950859999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(-0.84918446) × R
    0.000191749999999991 × 0.660595625559477 × 6371000     		do = 807.00954456172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(-0.84931112) × R
    0.000191749999999991 × 0.660500531290181 × 6371000     		du = 806.893373669898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84918446)-sin(-0.84931112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660595625559477-0.660500531290181)×R²
    abs(-0.30200247--0.30219422)×9.50942692959922e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50942692959922e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50942692959922e-05×40589641000000     		ar = 651170.174782154m²