Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14808 / 20653
↖ ↑ ↗
← S 42.399122°
W 17.314453°		 ← 902.14 m → S 42.399122°
W 17.303467°		 →
↑
902.07 m
↓
↑
902.07 m
↓
S 42.407235°
W 17.314453°		 ← 902.02 m →
813 740 m²		 S 42.407235°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451919555664062 y=0.630294799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451919555664062 × 215)
    floor (0.451919555664062 × 32768)
    floor (14808.5)     		tx = 14808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630294799804688 × 215)
    floor (0.630294799804688 × 32768)
    floor (20653.5)     		ty = 20653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14808 / 20653 ti = "15/14808/20653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14808/20653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14808 ÷ 215
    14808 ÷ 32768     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20653 ÷ 215
    20653 ÷ 32768     		y = 0.630279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.26055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.818570497912079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818570497912079))-π/2
    2×atan(0.441061702696013)-π/2
    2×0.415396022583664-π/2
    0.830792045167327-1.57079632675     		φ = -0.74000428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74000428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.399122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14808 KachelY 20653 -0.30219422 -0.74000428 -17.314453 -42.399122
    Oben rechts KachelX + 1 14809 KachelY 20653 -0.30200247 -0.74000428 -17.303467 -42.399122
    Unten links KachelX 14808 KachelY + 1 20654 -0.30219422 -0.74014587 -17.314453 -42.407235
    Unten rechts KachelX + 1 14809 KachelY + 1 20654 -0.30200247 -0.74014587 -17.303467 -42.407235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74000428--0.74014587) × R
    0.000141590000000025 × 6371000     		dl = 902.069890000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74000428--0.74014587) × R
    0.000141590000000025 × 6371000     		dr = 902.069890000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(-0.74000428) × R
    0.000191749999999991 × 0.738465672770562 × 6371000     		do = 902.138650634131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(-0.74014587) × R
    0.000191749999999991 × 0.73837019249568 × 6371000     		du = 902.022008182733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74000428)-sin(-0.74014587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738465672770562-0.73837019249568)×R²
    abs(-0.30200247--0.30219422)×9.54802748828198e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54802748828198e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54802748828198e-05×40589641000000     		ar = 813739.504880248m²