Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14808 / 11352
↖ ↑ ↗
← N 48.283193°
W 17.314453°		 ← 812.94 m → N 48.283193°
W 17.303467°		 →
↑
813 m
↓
↑
813 m
↓
N 48.275881°
W 17.314453°		 ← 813.06 m →
660 969 m²		 N 48.275881°
W 17.303467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451919555664062 y=0.346450805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451919555664062 × 215)
    floor (0.451919555664062 × 32768)
    floor (14808.5)     		tx = 14808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346450805664062 × 215)
    floor (0.346450805664062 × 32768)
    floor (11352.5)     		ty = 11352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14808 / 11352 ti = "15/14808/11352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14808/11352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14808 ÷ 215
    14808 ÷ 32768     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11352 ÷ 215
    11352 ÷ 32768     		y = 0.346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.96487391555249))-π/2
    2×atan(2.6244567324357)-π/2
    2×1.20674850808913-π/2
    2.41349701617827-1.57079632675     		φ = 0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14808 KachelY 11352 -0.30219422 0.84270069 -17.314453 48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 14809 KachelY 11352 -0.30200247 0.84270069 -17.303467 48.283193
    Unten links KachelX 14808 KachelY + 1 11353 -0.30219422 0.84257308 -17.314453 48.275881
    Unten rechts KachelX + 1 14809 KachelY + 1 11353 -0.30200247 0.84257308 -17.303467 48.275881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84270069-0.84257308) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dl = 813.003310000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84270069-0.84257308) × R
    0.000127610000000056 × 6371000     		dr = 813.003310000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(0.84270069) × R
    0.000191749999999991 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 812.939037412228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30200247) × cos(0.84257308) × R
    0.000191749999999991 × 0.6655445920885 × 6371000     		du = 813.055396320511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84270069)-sin(0.84257308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.6655445920885)×R²
    abs(-0.30200247--0.30219422)×9.52481743549116e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52481743549116e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52481743549116e-05×40589641000000     		ar = 660969.42923039m²