Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14807 / 9723
↖ ↑ ↗
← N 58.842175°
W 17.325439°		 ← 632.04 m → N 58.842175°
W 17.314453°		 →
↑
632.13 m
↓
↑
632.13 m
↓
N 58.836490°
W 17.325439°		 ← 632.14 m →
399 565 m²		 N 58.836490°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451889038085938 y=0.296737670898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451889038085938 × 215)
    floor (0.451889038085938 × 32768)
    floor (14807.5)     		tx = 14807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296737670898438 × 215)
    floor (0.296737670898438 × 32768)
    floor (9723.5)     		ty = 9723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14807 / 9723 ti = "15/14807/9723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14807/9723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14807 ÷ 215
    14807 ÷ 32768     		x = 0.451873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9723 ÷ 215
    9723 ÷ 32768     		y = 0.296722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.09625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30238596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296722412109375 × 2 - 1) × π
    0.40655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27723075347678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30238596} λ = -0.30238596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27723075347678))-π/2
    2×atan(3.58669352161554)-π/2
    2×1.29889300852537-π/2
    2.59778601705075-1.57079632675     		φ = 1.02698969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30238596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.325439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02698969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.842175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14807 KachelY 9723 -0.30238596 1.02698969 -17.325439 58.842175
    Oben rechts KachelX + 1 14808 KachelY 9723 -0.30219422 1.02698969 -17.314453 58.842175
    Unten links KachelX 14807 KachelY + 1 9724 -0.30238596 1.02689047 -17.325439 58.836490
    Unten rechts KachelX + 1 14808 KachelY + 1 9724 -0.30219422 1.02689047 -17.314453 58.836490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02698969-1.02689047) × R
    9.92199999998444e-05 × 6371000     		dl = 632.130619999009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02698969-1.02689047) × R
    9.92199999998444e-05 × 6371000     		dr = 632.130619999009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30238596--0.30219422) × cos(1.02698969) × R
    0.000191739999999996 × 0.517397244158595 × 6371000     		do = 632.039817927534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30238596--0.30219422) × cos(1.02689047) × R
    0.000191739999999996 × 0.517482148664583 × 6371000     		du = 632.143535195284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02698969)-sin(1.02689047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517397244158595-0.517482148664583)×R²
    abs(-0.30219422--0.30238596)×8.49045059873044e-05×R²
    0.000191739999999996×8.49045059873044e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.49045059873044e-05×40589641000000     		ar = 399564.503729223m²