Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14807 / 8820
↖ ↑ ↗
← N 63.607217°
W 17.325439°		 ← 543.02 m → N 63.607217°
W 17.314453°		 →
↑
543.06 m
↓
↑
543.06 m
↓
N 63.602333°
W 17.325439°		 ← 543.11 m →
294 919 m²		 N 63.602333°
W 17.314453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451889038085938 y=0.269180297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451889038085938 × 215)
    floor (0.451889038085938 × 32768)
    floor (14807.5)     		tx = 14807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269180297851562 × 215)
    floor (0.269180297851562 × 32768)
    floor (8820.5)     		ty = 8820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14807 / 8820 ti = "15/14807/8820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14807/8820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14807 ÷ 215
    14807 ÷ 32768     		x = 0.451873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8820 ÷ 215
    8820 ÷ 32768     		y = 0.2691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.09625244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30238596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2691650390625 × 2 - 1) × π
    0.461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45037883490442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30238596} λ = -0.30238596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45037883490442))-π/2
    2×atan(4.26472983769966)-π/2
    2×1.34047584293885-π/2
    2.6809516858777-1.57079632675     		φ = 1.11015536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30238596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.325439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11015536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.607217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14807 KachelY 8820 -0.30238596 1.11015536 -17.325439 63.607217
    Oben rechts KachelX + 1 14808 KachelY 8820 -0.30219422 1.11015536 -17.314453 63.607217
    Unten links KachelX 14807 KachelY + 1 8821 -0.30238596 1.11007012 -17.325439 63.602333
    Unten rechts KachelX + 1 14808 KachelY + 1 8821 -0.30219422 1.11007012 -17.314453 63.602333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11015536-1.11007012) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dl = 543.064039999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11015536-1.11007012) × R
    8.52399999999864e-05 × 6371000     		dr = 543.064039999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30238596--0.30219422) × cos(1.11015536) × R
    0.000191739999999996 × 0.444522355628122 × 6371000     		do = 543.017636618483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30238596--0.30219422) × cos(1.11007012) × R
    0.000191739999999996 × 0.444598709256759 × 6371000     		du = 543.110908343617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11015536)-sin(1.11007012))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444522355628122-0.444598709256759)×R²
    abs(-0.30219422--0.30238596)×7.63536286373379e-05×R²
    0.000191739999999996×7.63536286373379e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.63536286373379e-05×40589641000000     		ar = 294918.677971301m²