Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14806 / 9724
↖ ↑ ↗
← N 58.836490°
W 17.336426°		 ← 632.18 m → N 58.836490°
W 17.325439°		 →
↑
632.19 m
↓
↑
632.19 m
↓
N 58.830804°
W 17.336426°		 ← 632.28 m →
399 691 m²		 N 58.830804°
W 17.325439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451858520507812 y=0.296768188476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451858520507812 × 215)
    floor (0.451858520507812 × 32768)
    floor (14806.5)     		tx = 14806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296768188476562 × 215)
    floor (0.296768188476562 × 32768)
    floor (9724.5)     		ty = 9724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14806 / 9724 ti = "15/14806/9724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14806/9724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14806 ÷ 215
    14806 ÷ 32768     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9724 ÷ 215
    9724 ÷ 32768     		y = 0.2967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2967529296875 × 2 - 1) × π
    0.406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2770390058783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2770390058783))-π/2
    2×atan(3.58600584767831)-π/2
    2×1.29884339961598-π/2
    2.59768679923196-1.57079632675     		φ = 1.02689047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02689047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.836490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14806 KachelY 9724 -0.30257771 1.02689047 -17.336426 58.836490
    Oben rechts KachelX + 1 14807 KachelY 9724 -0.30238596 1.02689047 -17.325439 58.836490
    Unten links KachelX 14806 KachelY + 1 9725 -0.30257771 1.02679124 -17.336426 58.830804
    Unten rechts KachelX + 1 14807 KachelY + 1 9725 -0.30238596 1.02679124 -17.325439 58.830804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02689047-1.02679124) × R
    9.92300000000057e-05 × 6371000     		dl = 632.194330000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02689047-1.02679124) × R
    9.92300000000057e-05 × 6371000     		dr = 632.194330000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(1.02689047) × R
    0.000191749999999991 × 0.517482148664583 × 6371000     		do = 632.176503982958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(1.02679124) × R
    0.000191749999999991 × 0.517567056632588 × 6371000     		du = 632.280230889311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02689047)-sin(1.02679124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517482148664583-0.517567056632588)×R²
    abs(-0.30238596--0.30257771)×8.49079680048659e-05×R²
    0.000191749999999991×8.49079680048659e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.49079680048659e-05×40589641000000     		ar = 399691.18948588m²