Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14806 / 9675
↖ ↑ ↗
← N 59.113948°
W 17.336426°		 ← 627.11 m → N 59.113948°
W 17.325439°		 →
↑
627.16 m
↓
↑
627.16 m
↓
N 59.108308°
W 17.336426°		 ← 627.21 m →
393 330 m²		 N 59.108308°
W 17.325439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451858520507812 y=0.295272827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451858520507812 × 215)
    floor (0.451858520507812 × 32768)
    floor (14806.5)     		tx = 14806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295272827148438 × 215)
    floor (0.295272827148438 × 32768)
    floor (9675.5)     		ty = 9675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14806 / 9675 ti = "15/14806/9675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14806/9675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14806 ÷ 215
    14806 ÷ 32768     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9675 ÷ 215
    9675 ÷ 32768     		y = 0.295257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295257568359375 × 2 - 1) × π
    0.40948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28643463820383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28643463820383))-π/2
    2×atan(3.61985741957342)-π/2
    2×1.30126467975791-π/2
    2.60252935951581-1.57079632675     		φ = 1.03173303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03173303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.113948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14806 KachelY 9675 -0.30257771 1.03173303 -17.336426 59.113948
    Oben rechts KachelX + 1 14807 KachelY 9675 -0.30238596 1.03173303 -17.325439 59.113948
    Unten links KachelX 14806 KachelY + 1 9676 -0.30257771 1.03163459 -17.336426 59.108308
    Unten rechts KachelX + 1 14807 KachelY + 1 9676 -0.30238596 1.03163459 -17.325439 59.108308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03173303-1.03163459) × R
    9.8440000000144e-05 × 6371000     		dl = 627.161240000917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03173303-1.03163459) × R
    9.8440000000144e-05 × 6371000     		dr = 627.161240000917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(1.03173303) × R
    0.000191749999999991 × 0.513332347744965 × 6371000     		do = 627.106944299867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(1.03163459) × R
    0.000191749999999991 × 0.513416825471166 × 6371000     		du = 627.210145605945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03173303)-sin(1.03163459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513332347744965-0.513416825471166)×R²
    abs(-0.30238596--0.30257771)×8.44777262007934e-05×R²
    0.000191749999999991×8.44777262007934e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.44777262007934e-05×40589641000000     		ar = 393329.531046875m²