Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14806 / 21469
↖ ↑ ↗
← S 48.669199°
W 17.336426°		 ← 806.78 m → S 48.669199°
W 17.325439°		 →
↑
806.76 m
↓
↑
806.76 m
↓
S 48.676454°
W 17.336426°		 ← 806.66 m →
650 829 m²		 S 48.676454°
W 17.325439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451858520507812 y=0.655197143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451858520507812 × 215)
    floor (0.451858520507812 × 32768)
    floor (14806.5)     		tx = 14806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655197143554688 × 215)
    floor (0.655197143554688 × 32768)
    floor (21469.5)     		ty = 21469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14806 / 21469 ti = "15/14806/21469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14806/21469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14806 ÷ 215
    14806 ÷ 32768     		x = 0.45184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21469 ÷ 215
    21469 ÷ 32768     		y = 0.655181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30257771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.31036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.975036538271942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30257771} λ = -0.30257771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975036538271942))-π/2
    2×atan(0.377178571858149)-π/2
    2×0.360679281729271-π/2
    0.721358563458543-1.57079632675     		φ = -0.84943776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30257771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.336426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84943776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.669199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14806 KachelY 21469 -0.30257771 -0.84943776 -17.336426 -48.669199
    Oben rechts KachelX + 1 14807 KachelY 21469 -0.30238596 -0.84943776 -17.325439 -48.669199
    Unten links KachelX 14806 KachelY + 1 21470 -0.30257771 -0.84956439 -17.336426 -48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 14807 KachelY + 1 21470 -0.30238596 -0.84956439 -17.325439 -48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84943776--0.84956439) × R
    0.000126629999999905 × 6371000     		dl = 806.759729999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84943776--0.84956439) × R
    0.000126629999999905 × 6371000     		dr = 806.759729999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(-0.84943776) × R
    0.000191749999999991 × 0.660405441442821 × 6371000     		do = 806.777208180087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30257771--0.30238596) × cos(-0.84956439) × R
    0.000191749999999991 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 806.661038925856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84943776)-sin(-0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660405441442821-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.30238596--0.30257771)×9.50929288090485e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50929288090485e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50929288090485e-05×40589641000000     		ar = 650828.503172369m²