Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14805 / 9720
↖ ↑ ↗
← N 58.859224°
W 17.347412°		 ← 631.76 m → N 58.859224°
W 17.336426°		 →
↑
631.81 m
↓
↑
631.81 m
↓
N 58.853542°
W 17.347412°		 ← 631.87 m →
399 187 m²		 N 58.853542°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451828002929688 y=0.296646118164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451828002929688 × 215)
    floor (0.451828002929688 × 32768)
    floor (14805.5)     		tx = 14805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296646118164062 × 215)
    floor (0.296646118164062 × 32768)
    floor (9720.5)     		ty = 9720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14805 / 9720 ti = "15/14805/9720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14805/9720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14805 ÷ 215
    14805 ÷ 32768     		x = 0.451812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9720 ÷ 215
    9720 ÷ 32768     		y = 0.296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296630859375 × 2 - 1) × π
    0.40673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27780599627222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30276946} λ = -0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27780599627222))-π/2
    2×atan(3.58875733476322)-π/2
    2×1.29904178641985-π/2
    2.5980835728397-1.57079632675     		φ = 1.02728725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02728725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.859224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14805 KachelY 9720 -0.30276946 1.02728725 -17.347412 58.859224
    Oben rechts KachelX + 1 14806 KachelY 9720 -0.30257771 1.02728725 -17.336426 58.859224
    Unten links KachelX 14805 KachelY + 1 9721 -0.30276946 1.02718808 -17.347412 58.853542
    Unten rechts KachelX + 1 14806 KachelY + 1 9721 -0.30257771 1.02718808 -17.336426 58.853542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02728725-1.02718808) × R
    9.91700000001483e-05 × 6371000     		dl = 631.812070000945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02728725-1.02718808) × R
    9.91700000001483e-05 × 6371000     		dr = 631.812070000945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(1.02728725) × R
    0.000191749999999991 × 0.517142585672466 × 6371000     		do = 631.761680503941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(1.02718808) × R
    0.000191749999999991 × 0.517227462659136 × 6371000     		du = 631.865369562279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02728725)-sin(1.02718808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517142585672466-0.517227462659136)×R²
    abs(-0.30257771--0.30276946)×8.4876986670035e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4876986670035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4876986670035e-05×40589641000000     		ar = 399187.411432977m²