Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14805 / 8824
↖ ↑ ↗
← N 63.587675°
W 17.347412°		 ← 543.42 m → N 63.587675°
W 17.336426°		 →
↑
543.45 m
↓
↑
543.45 m
↓
N 63.582788°
W 17.347412°		 ← 543.51 m →
295 344 m²		 N 63.582788°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451828002929688 y=0.269302368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451828002929688 × 215)
    floor (0.451828002929688 × 32768)
    floor (14805.5)     		tx = 14805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269302368164062 × 215)
    floor (0.269302368164062 × 32768)
    floor (8824.5)     		ty = 8824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14805 / 8824 ti = "15/14805/8824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14805/8824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14805 ÷ 215
    14805 ÷ 32768     		x = 0.451812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8824 ÷ 215
    8824 ÷ 32768     		y = 0.269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269287109375 × 2 - 1) × π
    0.46142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4496118445105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30276946} λ = -0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4496118445105))-π/2
    2×atan(4.26146008497623)-π/2
    2×1.34030531217905-π/2
    2.68061062435809-1.57079632675     		φ = 1.10981430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10981430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.587675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14805 KachelY 8824 -0.30276946 1.10981430 -17.347412 63.587675
    Oben rechts KachelX + 1 14806 KachelY 8824 -0.30257771 1.10981430 -17.336426 63.587675
    Unten links KachelX 14805 KachelY + 1 8825 -0.30276946 1.10972900 -17.347412 63.582788
    Unten rechts KachelX + 1 14806 KachelY + 1 8825 -0.30257771 1.10972900 -17.336426 63.582788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10981430-1.10972900) × R
    8.53000000000659e-05 × 6371000     		dl = 543.44630000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10981430-1.10972900) × R
    8.53000000000659e-05 × 6371000     		dr = 543.44630000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(1.10981430) × R
    0.000191749999999991 × 0.444827840319719 × 6371000     		do = 543.419149227274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(1.10972900) × R
    0.000191749999999991 × 0.444904234754362 × 6371000     		du = 543.512475667116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10981430)-sin(1.10972900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444827840319719-0.444904234754362)×R²
    abs(-0.30257771--0.30276946)×7.63944346430789e-05×R²
    0.000191749999999991×7.63944346430789e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.63944346430789e-05×40589641000000     		ar = 295344.485130307m²