Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14805 / 11316
↖ ↑ ↗
← N 48.545706°
W 17.347412°		 ← 808.75 m → N 48.545706°
W 17.336426°		 →
↑
808.80 m
↓
↑
808.80 m
↓
N 48.538432°
W 17.347412°		 ← 808.87 m →
654 165 m²		 N 48.538432°
W 17.336426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451828002929688 y=0.345352172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451828002929688 × 215)
    floor (0.451828002929688 × 32768)
    floor (14805.5)     		tx = 14805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345352172851562 × 215)
    floor (0.345352172851562 × 32768)
    floor (11316.5)     		ty = 11316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14805 / 11316 ti = "15/14805/11316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14805/11316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14805 ÷ 215
    14805 ÷ 32768     		x = 0.451812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11316 ÷ 215
    11316 ÷ 32768     		y = 0.3453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.09637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30276946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3453369140625 × 2 - 1) × π
    0.309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.971776829097778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30276946} λ = -0.30276946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971776829097778))-π/2
    2×atan(2.64263580245106)-π/2
    2×1.20903936265637-π/2
    2.41807872531274-1.57079632675     		φ = 0.84728240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30276946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84728240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.545706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14805 KachelY 11316 -0.30276946 0.84728240 -17.347412 48.545706
    Oben rechts KachelX + 1 14806 KachelY 11316 -0.30257771 0.84728240 -17.336426 48.545706
    Unten links KachelX 14805 KachelY + 1 11317 -0.30276946 0.84715545 -17.347412 48.538432
    Unten rechts KachelX + 1 14806 KachelY + 1 11317 -0.30257771 0.84715545 -17.336426 48.538432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84728240-0.84715545) × R
    0.000126949999999959 × 6371000     		dl = 808.798449999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84728240-0.84715545) × R
    0.000126949999999959 × 6371000     		dr = 808.798449999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(0.84728240) × R
    0.000191749999999991 × 0.662022385899222 × 6371000     		do = 808.752530993096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30276946--0.30257771) × cos(0.84715545) × R
    0.000191749999999991 × 0.662117527566077 × 6371000     		du = 808.868759787637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84728240)-sin(0.84715545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662022385899222-0.662117527566077)×R²
    abs(-0.30257771--0.30276946)×9.5141666855314e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5141666855314e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5141666855314e-05×40589641000000     		ar = 654164.797212902m²