Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14804 / 21468
↖ ↑ ↗
← S 48.661943°
W 17.358399°		 ← 806.89 m → S 48.661943°
W 17.347412°		 →
↑
806.82 m
↓
↑
806.82 m
↓
S 48.669199°
W 17.358399°		 ← 806.78 m →
650 974 m²		 S 48.669199°
W 17.347412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451797485351562 y=0.655166625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451797485351562 × 215)
    floor (0.451797485351562 × 32768)
    floor (14804.5)     		tx = 14804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655166625976562 × 215)
    floor (0.655166625976562 × 32768)
    floor (21468.5)     		ty = 21468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14804 / 21468 ti = "15/14804/21468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14804/21468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14804 ÷ 215
    14804 ÷ 32768     		x = 0.4517822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21468 ÷ 215
    21468 ÷ 32768     		y = 0.6551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4517822265625 × 2 - 1) × π
    -0.096435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30296121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30296121} λ = -0.30296121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974844790673462))-π/2
    2×atan(0.377250901877833)-π/2
    2×0.360742601866039-π/2
    0.721485203732077-1.57079632675     		φ = -0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30296121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.358399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14804 KachelY 21468 -0.30296121 -0.84931112 -17.358399 -48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 14805 KachelY 21468 -0.30276946 -0.84931112 -17.347412 -48.661943
    Unten links KachelX 14804 KachelY + 1 21469 -0.30296121 -0.84943776 -17.358399 -48.669199
    Unten rechts KachelX + 1 14805 KachelY + 1 21469 -0.30276946 -0.84943776 -17.347412 -48.669199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84931112--0.84943776) × R
    0.000126640000000067 × 6371000     		dl = 806.823440000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84931112--0.84943776) × R
    0.000126640000000067 × 6371000     		dr = 806.823440000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30296121--0.30276946) × cos(-0.84931112) × R
    0.000191749999999991 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 806.893373669898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30296121--0.30276946) × cos(-0.84943776) × R
    0.000191749999999991 × 0.660405441442821 × 6371000     		du = 806.777208180087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84931112)-sin(-0.84943776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660405441442821)×R²
    abs(-0.30276946--0.30296121)×9.50898473601747e-05×R²
    0.000191749999999991×9.50898473601747e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.50898473601747e-05×40589641000000     		ar = 650973.625808175m²