Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14803 / 9689
↖ ↑ ↗
← N 59.034902°
W 17.369385°		 ← 628.52 m → N 59.034902°
W 17.358399°		 →
↑
628.56 m
↓
↑
628.56 m
↓
N 59.029250°
W 17.369385°		 ← 628.62 m →
395 097 m²		 N 59.029250°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451766967773438 y=0.295700073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451766967773438 × 215)
    floor (0.451766967773438 × 32768)
    floor (14803.5)     		tx = 14803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295700073242188 × 215)
    floor (0.295700073242188 × 32768)
    floor (9689.5)     		ty = 9689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14803 / 9689 ti = "15/14803/9689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14803/9689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14803 ÷ 215
    14803 ÷ 32768     		x = 0.451751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9689 ÷ 215
    9689 ÷ 32768     		y = 0.295684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.09649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30315295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295684814453125 × 2 - 1) × π
    0.40863037109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2837501718251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30315295} λ = -0.30315295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2837501718251))-π/2
    2×atan(3.61015306536886)-π/2
    2×1.30057487398922-π/2
    2.60114974797845-1.57079632675     		φ = 1.03035342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30315295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.369385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03035342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.034902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14803 KachelY 9689 -0.30315295 1.03035342 -17.369385 59.034902
    Oben rechts KachelX + 1 14804 KachelY 9689 -0.30296121 1.03035342 -17.358399 59.034902
    Unten links KachelX 14803 KachelY + 1 9690 -0.30315295 1.03025476 -17.369385 59.029250
    Unten rechts KachelX + 1 14804 KachelY + 1 9690 -0.30296121 1.03025476 -17.358399 59.029250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03035342-1.03025476) × R
    9.86599999999171e-05 × 6371000     		dl = 628.562859999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03035342-1.03025476) × R
    9.86599999999171e-05 × 6371000     		dr = 628.562859999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30315295--0.30296121) × cos(1.03035342) × R
    0.000191739999999996 × 0.514515826215601 × 6371000     		do = 628.519948247855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30315295--0.30296121) × cos(1.03025476) × R
    0.000191739999999996 × 0.514600422775277 × 6371000     		du = 628.623289335923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03035342)-sin(1.03025476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514515826215601-0.514600422775277)×R²
    abs(-0.30296121--0.30315295)×8.45965596756315e-05×R²
    0.000191739999999996×8.45965596756315e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.45965596756315e-05×40589641000000     		ar = 395096.774742975m²