Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14803 / 21470
↖ ↑ ↗
← S 48.676454°
W 17.369385°		 ← 806.62 m → S 48.676454°
W 17.358399°		 →
↑
806.57 m
↓
↑
806.57 m
↓
S 48.683708°
W 17.369385°		 ← 806.50 m →
650 547 m²		 S 48.683708°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451766967773438 y=0.655227661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451766967773438 × 215)
    floor (0.451766967773438 × 32768)
    floor (14803.5)     		tx = 14803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655227661132812 × 215)
    floor (0.655227661132812 × 32768)
    floor (21470.5)     		ty = 21470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14803 / 21470 ti = "15/14803/21470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14803/21470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14803 ÷ 215
    14803 ÷ 32768     		x = 0.451751708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21470 ÷ 215
    21470 ÷ 32768     		y = 0.65521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.09649658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30315295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.3104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975228285870422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30315295} λ = -0.30315295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975228285870422))-π/2
    2×atan(0.377106255706243)-π/2
    2×0.360615970709-π/2
    0.721231941418-1.57079632675     		φ = -0.84956439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30315295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.369385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84956439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.676454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14803 KachelY 21470 -0.30315295 -0.84956439 -17.369385 -48.676454
    Oben rechts KachelX + 1 14804 KachelY 21470 -0.30296121 -0.84956439 -17.358399 -48.676454
    Unten links KachelX 14803 KachelY + 1 21471 -0.30315295 -0.84969099 -17.369385 -48.683708
    Unten rechts KachelX + 1 14804 KachelY + 1 21471 -0.30296121 -0.84969099 -17.358399 -48.683708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84956439--0.84969099) × R
    0.000126600000000088 × 6371000     		dl = 806.568600000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84956439--0.84969099) × R
    0.000126600000000088 × 6371000     		dr = 806.568600000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30315295--0.30296121) × cos(-0.84956439) × R
    0.000191739999999996 × 0.660310348514012 × 6371000     		do = 806.618970553574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30315295--0.30296121) × cos(-0.84969099) × R
    0.000191739999999996 × 0.660215267529315 × 6371000     		du = 806.50282194835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84956439)-sin(-0.84969099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660310348514012-0.660215267529315)×R²
    abs(-0.30296121--0.30315295)×9.50809846961276e-05×R²
    0.000191739999999996×9.50809846961276e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.50809846961276e-05×40589641000000     		ar = 650546.693773122m²