Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14802 / 7443
↖ ↑ ↗
← N 69.584396°
W 17.380371°		 ← 426.14 m → N 69.584396°
W 17.369385°		 →
↑
426.16 m
↓
↑
426.16 m
↓
N 69.580564°
W 17.380371°		 ← 426.22 m →
181 619 m²		 N 69.580564°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451736450195312 y=0.227157592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451736450195312 × 215)
    floor (0.451736450195312 × 32768)
    floor (14802.5)     		tx = 14802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227157592773438 × 215)
    floor (0.227157592773438 × 32768)
    floor (7443.5)     		ty = 7443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14802 / 7443 ti = "15/14802/7443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14802/7443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14802 ÷ 215
    14802 ÷ 32768     		x = 0.45172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7443 ÷ 215
    7443 ÷ 32768     		y = 0.227142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0965576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30334470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227142333984375 × 2 - 1) × π
    0.54571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71441527801169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30334470} λ = -0.30334470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71441527801169))-π/2
    2×atan(5.55342735173544)-π/2
    2×1.39263657395813-π/2
    2.78527314791627-1.57079632675     		φ = 1.21447682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30334470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.380371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21447682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.584396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14802 KachelY 7443 -0.30334470 1.21447682 -17.380371 69.584396
    Oben rechts KachelX + 1 14803 KachelY 7443 -0.30315295 1.21447682 -17.369385 69.584396
    Unten links KachelX 14802 KachelY + 1 7444 -0.30334470 1.21440993 -17.380371 69.580564
    Unten rechts KachelX + 1 14803 KachelY + 1 7444 -0.30315295 1.21440993 -17.369385 69.580564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21447682-1.21440993) × R
    6.68900000000416e-05 × 6371000     		dl = 426.156190000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21447682-1.21440993) × R
    6.68900000000416e-05 × 6371000     		dr = 426.156190000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(1.21447682) × R
    0.000191750000000046 × 0.348827293195536 × 6371000     		do = 426.141112839028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(1.21440993) × R
    0.000191750000000046 × 0.348889980855207 × 6371000     		du = 426.217694544572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21447682)-sin(1.21440993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348827293195536-0.348889980855207)×R²
    abs(-0.30315295--0.30334470)×6.26876596704906e-05×R²
    0.000191750000000046×6.26876596704906e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.26876596704906e-05×40589641000000     		ar = 181618.991001712m²