Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14802 / 21471
↖ ↑ ↗
← S 48.683708°
W 17.380371°		 ← 806.54 m → S 48.683708°
W 17.369385°		 →
↑
806.44 m
↓
↑
806.44 m
↓
S 48.690960°
W 17.380371°		 ← 806.43 m →
650 384 m²		 S 48.690960°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451736450195312 y=0.655258178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451736450195312 × 215)
    floor (0.451736450195312 × 32768)
    floor (14802.5)     		tx = 14802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655258178710938 × 215)
    floor (0.655258178710938 × 32768)
    floor (21471.5)     		ty = 21471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14802 / 21471 ti = "15/14802/21471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14802/21471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14802 ÷ 215
    14802 ÷ 32768     		x = 0.45172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21471 ÷ 215
    21471 ÷ 32768     		y = 0.655242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0965576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30334470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.31048583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.975420033468903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30334470} λ = -0.30334470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975420033468903))-π/2
    2×atan(0.377033953419456)-π/2
    2×0.360552668804927-π/2
    0.721105337609854-1.57079632675     		φ = -0.84969099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30334470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.380371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84969099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.683708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14802 KachelY 21471 -0.30334470 -0.84969099 -17.380371 -48.683708
    Oben rechts KachelX + 1 14803 KachelY 21471 -0.30315295 -0.84969099 -17.369385 -48.683708
    Unten links KachelX 14802 KachelY + 1 21472 -0.30334470 -0.84981757 -17.380371 -48.690960
    Unten rechts KachelX + 1 14803 KachelY + 1 21472 -0.30315295 -0.84981757 -17.369385 -48.690960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84969099--0.84981757) × R
    0.000126579999999987 × 6371000     		dl = 806.441179999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84969099--0.84981757) × R
    0.000126579999999987 × 6371000     		dr = 806.441179999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(-0.84969099) × R
    0.000191750000000046 × 0.660215267529315 × 6371000     		do = 806.544884263256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(-0.84981757) × R
    0.000191750000000046 × 0.66012019098618 × 6371000     		du = 806.428735026407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84969099)-sin(-0.84981757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660215267529315-0.66012019098618)×R²
    abs(-0.30315295--0.30334470)×9.50765431358969e-05×R²
    0.000191750000000046×9.50765431358969e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.50765431358969e-05×40589641000000     		ar = 650384.175293187m²