Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14802 / 21367
↖ ↑ ↗
← S 47.923705°
W 17.380371°		 ← 818.64 m → S 47.923705°
W 17.369385°		 →
↑
818.55 m
↓
↑
818.55 m
↓
S 47.931066°
W 17.380371°		 ← 818.53 m →
670 050 m²		 S 47.931066°
W 17.369385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451736450195312 y=0.652084350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451736450195312 × 215)
    floor (0.451736450195312 × 32768)
    floor (14802.5)     		tx = 14802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652084350585938 × 215)
    floor (0.652084350585938 × 32768)
    floor (21367.5)     		ty = 21367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14802 / 21367 ti = "15/14802/21367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14802/21367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14802 ÷ 215
    14802 ÷ 32768     		x = 0.45172119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21367 ÷ 215
    21367 ÷ 32768     		y = 0.652069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45172119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0965576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30334470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.30413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955478283226959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30334470} λ = -0.30334470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955478283226959))-π/2
    2×atan(0.384628139365514)-π/2
    2×0.367184944867498-π/2
    0.734369889734995-1.57079632675     		φ = -0.83642644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30334470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.380371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83642644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.923705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14802 KachelY 21367 -0.30334470 -0.83642644 -17.380371 -47.923705
    Oben rechts KachelX + 1 14803 KachelY 21367 -0.30315295 -0.83642644 -17.369385 -47.923705
    Unten links KachelX 14802 KachelY + 1 21368 -0.30334470 -0.83655492 -17.380371 -47.931066
    Unten rechts KachelX + 1 14803 KachelY + 1 21368 -0.30315295 -0.83655492 -17.369385 -47.931066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83642644--0.83655492) × R
    0.000128479999999986 × 6371000     		dl = 818.546079999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83642644--0.83655492) × R
    0.000128479999999986 × 6371000     		dr = 818.546079999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(-0.83642644) × R
    0.000191750000000046 × 0.670119585189319 × 6371000     		do = 818.644387461187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30334470--0.30315295) × cos(-0.83655492) × R
    0.000191750000000046 × 0.670024214973752 × 6371000     		du = 818.52787946257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83642644)-sin(-0.83655492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670119585189319-0.670024214973752)×R²
    abs(-0.30315295--0.30334470)×9.53702155661595e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53702155661595e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53702155661595e-05×40589641000000     		ar = 670050.471609643m²