Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14801 / 8847
↖ ↑ ↗
← N 63.475051°
W 17.391358°		 ← 545.57 m → N 63.475051°
W 17.380371°		 →
↑
545.61 m
↓
↑
545.61 m
↓
N 63.470145°
W 17.391358°		 ← 545.66 m →
297 695 m²		 N 63.470145°
W 17.380371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451705932617188 y=0.270004272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451705932617188 × 215)
    floor (0.451705932617188 × 32768)
    floor (14801.5)     		tx = 14801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270004272460938 × 215)
    floor (0.270004272460938 × 32768)
    floor (8847.5)     		ty = 8847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14801 / 8847 ti = "15/14801/8847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14801/8847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14801 ÷ 215
    14801 ÷ 32768     		x = 0.451690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8847 ÷ 215
    8847 ÷ 32768     		y = 0.269989013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.09661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30353645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269989013671875 × 2 - 1) × π
    0.46002197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44520164974545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30353645} λ = -0.30353645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44520164974545))-π/2
    2×atan(4.24270759747349)-π/2
    2×1.33932248436969-π/2
    2.67864496873939-1.57079632675     		φ = 1.10784864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30353645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.391358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10784864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.475051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14801 KachelY 8847 -0.30353645 1.10784864 -17.391358 63.475051
    Oben rechts KachelX + 1 14802 KachelY 8847 -0.30334470 1.10784864 -17.380371 63.475051
    Unten links KachelX 14801 KachelY + 1 8848 -0.30353645 1.10776300 -17.391358 63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 14802 KachelY + 1 8848 -0.30334470 1.10776300 -17.380371 63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10784864-1.10776300) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dl = 545.612439999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10784864-1.10776300) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dr = 545.612439999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30353645--0.30334470) × cos(1.10784864) × R
    0.000191749999999991 × 0.446587456555548 × 6371000     		do = 545.5687654859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30353645--0.30334470) × cos(1.10776300) × R
    0.000191749999999991 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 545.662372243125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10784864)-sin(1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446587456555548-0.446664080450225)×R²
    abs(-0.30334470--0.30353645)×7.66238946770526e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66238946770526e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66238946770526e-05×40589641000000     		ar = 297694.642011861m²