Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14800 / 8848
↖ ↑ ↗
← N 63.470145°
W 17.402344°		 ← 545.66 m → N 63.470145°
W 17.391358°		 →
↑
545.68 m
↓
↑
545.68 m
↓
N 63.465237°
W 17.402344°		 ← 545.76 m →
297 780 m²		 N 63.465237°
W 17.391358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451675415039062 y=0.270034790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451675415039062 × 215)
    floor (0.451675415039062 × 32768)
    floor (14800.5)     		tx = 14800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270034790039062 × 215)
    floor (0.270034790039062 × 32768)
    floor (8848.5)     		ty = 8848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14800 / 8848 ti = "15/14800/8848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14800/8848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14800 ÷ 215
    14800 ÷ 32768     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8848 ÷ 215
    8848 ÷ 32768     		y = 0.27001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27001953125 × 2 - 1) × π
    0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44500990214697))-π/2
    2×atan(4.24189414647175)-π/2
    2×1.3392796646607-π/2
    2.6785593293214-1.57079632675     		φ = 1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14800 KachelY 8848 -0.30372820 1.10776300 -17.402344 63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 14801 KachelY 8848 -0.30353645 1.10776300 -17.391358 63.470145
    Unten links KachelX 14800 KachelY + 1 8849 -0.30372820 1.10767735 -17.402344 63.465237
    Unten rechts KachelX + 1 14801 KachelY + 1 8849 -0.30353645 1.10767735 -17.391358 63.465237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10776300-1.10767735) × R
    8.56500000001592e-05 × 6371000     		dl = 545.676150001014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10776300-1.10767735) × R
    8.56500000001592e-05 × 6371000     		dr = 545.676150001014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(1.10776300) × R
    0.000191749999999991 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 545.662372243125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(1.10767735) × R
    0.000191749999999991 × 0.446740710015609 × 6371000     		du = 545.755985927909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10776300)-sin(1.10767735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.446740710015609)×R²
    abs(-0.30353645--0.30372820)×7.66295653839566e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66295653839566e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66295653839566e-05×40589641000000     		ar = 297780.484045601m²