Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14800 / 8816
↖ ↑ ↗
← N 63.626745°
W 17.402344°		 ← 542.67 m → N 63.626745°
W 17.391358°		 →
↑
542.75 m
↓
↑
542.75 m
↓
N 63.621864°
W 17.402344°		 ← 542.77 m →
294 559 m²		 N 63.621864°
W 17.391358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451675415039062 y=0.269058227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451675415039062 × 215)
    floor (0.451675415039062 × 32768)
    floor (14800.5)     		tx = 14800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269058227539062 × 215)
    floor (0.269058227539062 × 32768)
    floor (8816.5)     		ty = 8816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14800 / 8816 ti = "15/14800/8816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14800/8816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14800 ÷ 215
    14800 ÷ 32768     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8816 ÷ 215
    8816 ÷ 32768     		y = 0.26904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26904296875 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45114582529834))-π/2
    2×atan(4.26800209925401)-π/2
    2×1.34064625657654-π/2
    2.68129251315309-1.57079632675     		φ = 1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14800 KachelY 8816 -0.30372820 1.11049619 -17.402344 63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 14801 KachelY 8816 -0.30353645 1.11049619 -17.391358 63.626745
    Unten links KachelX 14800 KachelY + 1 8817 -0.30372820 1.11041100 -17.402344 63.621864
    Unten rechts KachelX + 1 14801 KachelY + 1 8817 -0.30353645 1.11041100 -17.391358 63.621864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11049619-1.11041100) × R
    8.51900000000683e-05 × 6371000     		dl = 542.745490000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11049619-1.11041100) × R
    8.51900000000683e-05 × 6371000     		dr = 542.745490000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(1.11049619) × R
    0.000191749999999991 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 542.672953612798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(1.11041100) × R
    0.000191749999999991 × 0.444293347035923 × 6371000     		du = 542.766191252928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11049619)-sin(1.11041100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.444293347035923)×R²
    abs(-0.30353645--0.30372820)×7.6321745662411e-05×R²
    0.000191749999999991×7.6321745662411e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.6321745662411e-05×40589641000000     		ar = 294558.600450682m²