Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14800 / 14768
↖ ↑ ↗
← S 80.816891°
E145.195312°		 ← 389.92 m → S 80.816891°
E145.217285°		 →
↑
389.84 m
↓
↑
389.84 m
↓
S 80.820397°
E145.195312°		 ← 389.78 m →
151 979 m²		 S 80.820397°
E145.217285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903350830078125 y=0.901397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903350830078125 × 214)
    floor (0.903350830078125 × 16384)
    floor (14800.5)     		tx = 14800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901397705078125 × 214)
    floor (0.901397705078125 × 16384)
    floor (14768.5)     		ty = 14768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14800 / 14768 ti = "14/14800/14768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14800/14768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14800 ÷ 214
    14800 ÷ 16384     		x = 0.9033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14768 ÷ 214
    14768 ÷ 16384     		y = 0.9013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9033203125 × 2 - 1) × π
    0.806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53413626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9013671875 × 2 - 1) × π
    -0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53413626} λ = 2.53413626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52186441521191))-π/2
    2×atan(0.0803097363884675)-π/2
    2×0.0801377448067855-π/2
    0.160275489613571-1.57079632675     		φ = -1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53413626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14800 KachelY 14768 2.53413626 -1.41052084 145.195312 -80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 14801 KachelY 14768 2.53451976 -1.41052084 145.217285 -80.816891
    Unten links KachelX 14800 KachelY + 1 14769 2.53413626 -1.41058203 145.195312 -80.820397
    Unten rechts KachelX + 1 14801 KachelY + 1 14769 2.53451976 -1.41058203 145.217285 -80.820397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41052084--1.41058203) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dl = 389.841490000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41052084--1.41058203) × R
    6.11900000000443e-05 × 6371000     		dr = 389.841490000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53413626-2.53451976) × cos(-1.41052084) × R
    0.00038349999999987 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 389.923227862478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53413626-2.53451976) × cos(-1.41058203) × R
    0.00038349999999987 × 0.159529762597094 × 6371000     		du = 389.775639063453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41052084)-sin(-1.41058203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.159529762597094)×R²
    abs(2.53451976-2.53413626)×6.04060482770064e-05×R²
    0.00038349999999987×6.04060482770064e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.04060482770064e-05×40589641000000     		ar = 151979.484065445m²