Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14800 / 11342
↖ ↑ ↗
← N 48.356249°
W 17.402344°		 ← 811.78 m → N 48.356249°
W 17.391358°		 →
↑
811.86 m
↓
↑
811.86 m
↓
N 48.348948°
W 17.402344°		 ← 811.89 m →
659 093 m²		 N 48.348948°
W 17.391358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451675415039062 y=0.346145629882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451675415039062 × 215)
    floor (0.451675415039062 × 32768)
    floor (14800.5)     		tx = 14800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346145629882812 × 215)
    floor (0.346145629882812 × 32768)
    floor (11342.5)     		ty = 11342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14800 / 11342 ti = "15/14800/11342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14800/11342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14800 ÷ 215
    14800 ÷ 32768     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11342 ÷ 215
    11342 ÷ 32768     		y = 0.34613037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34613037109375 × 2 - 1) × π
    0.3077392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.966791391537293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966791391537293))-π/2
    2×atan(2.62949389296713)-π/2
    2×1.20738604312817-π/2
    2.41477208625633-1.57079632675     		φ = 0.84397576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84397576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.356249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14800 KachelY 11342 -0.30372820 0.84397576 -17.402344 48.356249
    Oben rechts KachelX + 1 14801 KachelY 11342 -0.30353645 0.84397576 -17.391358 48.356249
    Unten links KachelX 14800 KachelY + 1 11343 -0.30372820 0.84384833 -17.402344 48.348948
    Unten rechts KachelX + 1 14801 KachelY + 1 11343 -0.30353645 0.84384833 -17.391358 48.348948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84397576-0.84384833) × R
    0.000127429999999928 × 6371000     		dl = 811.856529999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84397576-0.84384833) × R
    0.000127429999999928 × 6371000     		dr = 811.856529999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(0.84397576) × R
    0.000191749999999991 × 0.664497036135423 × 6371000     		do = 811.775660851661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30353645) × cos(0.84384833) × R
    0.000191749999999991 × 0.664592258019345 × 6371000     		du = 811.891987642519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84397576)-sin(0.84384833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664497036135423-0.664592258019345)×R²
    abs(-0.30353645--0.30372820)×9.52218839215258e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52218839215258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52218839215258e-05×40589641000000     		ar = 659092.592381235m²