Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1480 / 1769
↖ ↑ ↗
← N 23.805450°
W 49.921875°		 ← 8 941.51 m → N 23.805450°
W 49.833985°		 →
↑
8 944.31 m
↓
↑
8 944.31 m
↓
N 23.725012°
W 49.921875°		 ← 8 947.04 m →
80 000 414 m²		 N 23.725012°
W 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3614501953125 y=0.4320068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		tx = 1480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4320068359375 × 212)
    floor (0.4320068359375 × 4096)
    floor (1769.5)     		ty = 1769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1480 / 1769 ti = "12/1480/1769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1480/1769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1769 ÷ 212
    1769 ÷ 4096     		y = 0.431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431884765625 × 2 - 1) × π
    0.13623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.427980639807861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427980639807861))-π/2
    2×atan(1.53415637911779)-π/2
    2×0.993139901218101-π/2
    1.9862798024362-1.57079632675     		φ = 0.41548348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41548348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.805450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1480 KachelY 1769 -0.87130109 0.41548348 -49.921875 23.805450
    Oben rechts KachelX + 1 1481 KachelY 1769 -0.86976711 0.41548348 -49.833985 23.805450
    Unten links KachelX 1480 KachelY + 1 1770 -0.87130109 0.41407957 -49.921875 23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 1481 KachelY + 1 1770 -0.86976711 0.41407957 -49.833985 23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41548348-0.41407957) × R
    0.00140391000000001 × 6371000     		dl = 8944.31061000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41548348-0.41407957) × R
    0.00140391000000001 × 6371000     		dr = 8944.31061000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.41548348) × R
    0.00153398000000005 × 0.914921279279134 × 6371000     		do = 8941.51338415167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.41407957) × R
    0.00153398000000005 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 8947.04256498301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41548348)-sin(0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914921279279134-0.915487040910553)×R²
    abs(-0.86976711--0.87130109)×0.00056576163141886×R²
    0.00153398000000005×0.00056576163141886×6371000²
    0.00153398000000005×0.00056576163141886×40589641000000     		ar = 80000413.5265372m²