Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1480 / 1752
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 49.921875°		 ← 8 845.39 m → N 25.165173°
W 49.833985°		 →
↑
8 848.24 m
↓
↑
8 848.24 m
↓
N 25.085599°
W 49.921875°		 ← 8 851.15 m →
78 291 610 m²		 N 25.085599°
W 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3614501953125 y=0.4278564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		tx = 1480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4278564453125 × 212)
    floor (0.4278564453125 × 4096)
    floor (1752.5)     		ty = 1752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1480 / 1752 ti = "12/1480/1752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1480/1752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1752 ÷ 212
    1752 ÷ 4096     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1480 KachelY 1752 -0.87130109 0.43921513 -49.921875 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 1481 KachelY 1752 -0.86976711 0.43921513 -49.833985 25.165173
    Unten links KachelX 1480 KachelY + 1 1753 -0.87130109 0.43782630 -49.921875 25.085599
    Unten rechts KachelX + 1 1481 KachelY + 1 1753 -0.86976711 0.43782630 -49.833985 25.085599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.43782630) × R
    0.00138883000000001 × 6371000     		dl = 8848.23593000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.43782630) × R
    0.00138883000000001 × 6371000     		dr = 8848.23593000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.43921513) × R
    0.00153398000000005 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 8845.39031795866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.43782630) × R
    0.00153398000000005 × 0.905675389643908 × 6371000     		du = 8851.15342882644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.43782630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.905675389643908)×R²
    abs(-0.86976711--0.87130109)×0.00058969802328146×R²
    0.00153398000000005×0.00058969802328146×6371000²
    0.00153398000000005×0.00058969802328146×40589641000000     		ar = 78291609.6929494m²