Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1480 / 1737
↖ ↑ ↗
← N 26.352498°
W 49.921875°		 ← 8 757.38 m → N 26.352498°
W 49.833985°		 →
↑
8 760.32 m
↓
↑
8 760.32 m
↓
N 26.273714°
W 49.921875°		 ← 8 763.34 m →
76 743 509 m²		 N 26.273714°
W 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3614501953125 y=0.4241943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		tx = 1480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4241943359375 × 212)
    floor (0.4241943359375 × 4096)
    floor (1737.5)     		ty = 1737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1480 / 1737 ti = "12/1480/1737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1480/1737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1737 ÷ 212
    1737 ÷ 4096     		y = 0.424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424072265625 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477068025018799))-π/2
    2×atan(1.61134305196756)-π/2
    2×1.01536709026611-π/2
    2.03073418053222-1.57079632675     		φ = 0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1480 KachelY 1737 -0.87130109 0.45993785 -49.921875 26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 1481 KachelY 1737 -0.86976711 0.45993785 -49.833985 26.352498
    Unten links KachelX 1480 KachelY + 1 1738 -0.87130109 0.45856282 -49.921875 26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 1481 KachelY + 1 1738 -0.86976711 0.45856282 -49.833985 26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45993785-0.45856282) × R
    0.00137503 × 6371000     		dl = 8760.31613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45993785-0.45856282) × R
    0.00137503 × 6371000     		dr = 8760.31613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.45993785) × R
    0.00153398000000005 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 8757.37866651594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.45856282) × R
    0.00153398000000005 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 8763.33547857613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45993785)-sin(0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.896689605254309)×R²
    abs(-0.86976711--0.87130109)×0.000609518084510263×R²
    0.00153398000000005×0.000609518084510263×6371000²
    0.00153398000000005×0.000609518084510263×40589641000000     		ar = 76743509.4588128m²