Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1480 / 1736
↖ ↑ ↗
← N 26.431228°
W 49.921875°		 ← 8 751.41 m → N 26.431228°
W 49.833985°		 →
↑
8 754.45 m
↓
↑
8 754.45 m
↓
N 26.352498°
W 49.921875°		 ← 8 757.38 m →
76 639 959 m²		 N 26.352498°
W 49.833985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3614501953125 y=0.4239501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3614501953125 × 212)
    floor (0.3614501953125 × 4096)
    floor (1480.5)     		tx = 1480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4239501953125 × 212)
    floor (0.4239501953125 × 4096)
    floor (1736.5)     		ty = 1736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1480 / 1736 ti = "12/1480/1736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1480/1736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1480 ÷ 212
    1480 ÷ 4096     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1736 ÷ 212
    1736 ÷ 4096     		y = 0.423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423828125 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478602005806641))-π/2
    2×atan(1.61381671804495)-π/2
    2×1.01605414092691-π/2
    2.03210828185381-1.57079632675     		φ = 0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1480 KachelY 1736 -0.87130109 0.46131196 -49.921875 26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 1481 KachelY 1736 -0.86976711 0.46131196 -49.833985 26.431228
    Unten links KachelX 1480 KachelY + 1 1737 -0.87130109 0.45993785 -49.921875 26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 1481 KachelY + 1 1737 -0.86976711 0.45993785 -49.833985 26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46131196-0.45993785) × R
    0.00137411000000004 × 6371000     		dl = 8754.45481000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46131196-0.45993785) × R
    0.00137411000000004 × 6371000     		dr = 8754.45481000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.46131196) × R
    0.00153398000000005 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 8751.40929898993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86976711) × cos(0.45993785) × R
    0.00153398000000005 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 8757.37866651594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46131196)-sin(0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.896080087169799)×R²
    abs(-0.86976711--0.87130109)×0.000610802795761756×R²
    0.00153398000000005×0.000610802795761756×6371000²
    0.00153398000000005×0.000610802795761756×40589641000000     		ar = 76639958.5701089m²