Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14799 / 8840
↖ ↑ ↗
← N 63.509376°
W 17.413330°		 ← 544.89 m → N 63.509376°
W 17.402344°		 →
↑
544.98 m
↓
↑
544.98 m
↓
N 63.504475°
W 17.413330°		 ← 544.98 m →
296 975 m²		 N 63.504475°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451644897460938 y=0.269790649414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451644897460938 × 215)
    floor (0.451644897460938 × 32768)
    floor (14799.5)     		tx = 14799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269790649414062 × 215)
    floor (0.269790649414062 × 32768)
    floor (8840.5)     		ty = 8840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14799 / 8840 ti = "15/14799/8840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14799/8840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14799 ÷ 215
    14799 ÷ 32768     		x = 0.451629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8840 ÷ 215
    8840 ÷ 32768     		y = 0.269775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269775390625 × 2 - 1) × π
    0.46044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44654388293481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30391994} λ = -0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44654388293481))-π/2
    2×atan(4.24840612394372)-π/2
    2×1.33962201670603-π/2
    2.67924403341206-1.57079632675     		φ = 1.10844771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10844771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.509376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14799 KachelY 8840 -0.30391994 1.10844771 -17.413330 63.509376
    Oben rechts KachelX + 1 14800 KachelY 8840 -0.30372820 1.10844771 -17.402344 63.509376
    Unten links KachelX 14799 KachelY + 1 8841 -0.30391994 1.10836217 -17.413330 63.504475
    Unten rechts KachelX + 1 14800 KachelY + 1 8841 -0.30372820 1.10836217 -17.402344 63.504475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10844771-1.10836217) × R
    8.55400000001616e-05 × 6371000     		dl = 544.97534000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10844771-1.10836217) × R
    8.55400000001616e-05 × 6371000     		dr = 544.97534000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30391994--0.30372820) × cos(1.10844771) × R
    0.000191739999999996 × 0.44605136456709 × 6371000     		do = 544.885436538769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30391994--0.30372820) × cos(1.10836217) × R
    0.000191739999999996 × 0.446127921864945 × 6371000     		du = 544.978957061237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10844771)-sin(1.10836217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44605136456709-0.446127921864945)×R²
    abs(-0.30372820--0.30391994)×7.65572978548845e-05×R²
    0.000191739999999996×7.65572978548845e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.65572978548845e-05×40589641000000     		ar = 296974.609409917m²