Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14799 / 20431
↖ ↑ ↗
← S 40.572240°
W 17.413330°		 ← 927.89 m → S 40.572240°
W 17.402344°		 →
↑
927.87 m
↓
↑
927.87 m
↓
S 40.580584°
W 17.413330°		 ← 927.78 m →
860 912 m²		 S 40.580584°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451644897460938 y=0.623519897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451644897460938 × 215)
    floor (0.451644897460938 × 32768)
    floor (14799.5)     		tx = 14799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623519897460938 × 215)
    floor (0.623519897460938 × 32768)
    floor (20431.5)     		ty = 20431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14799 / 20431 ti = "15/14799/20431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14799/20431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14799 ÷ 215
    14799 ÷ 32768     		x = 0.451629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20431 ÷ 215
    20431 ÷ 32768     		y = 0.623504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.09674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30391994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.776002531049469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30391994} λ = -0.30391994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776002531049469))-π/2
    2×atan(0.460242142595988)-π/2
    2×0.431338575923471-π/2
    0.862677151846943-1.57079632675     		φ = -0.70811917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30391994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.413330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70811917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.572240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14799 KachelY 20431 -0.30391994 -0.70811917 -17.413330 -40.572240
    Oben rechts KachelX + 1 14800 KachelY 20431 -0.30372820 -0.70811917 -17.402344 -40.572240
    Unten links KachelX 14799 KachelY + 1 20432 -0.30391994 -0.70826481 -17.413330 -40.580584
    Unten rechts KachelX + 1 14800 KachelY + 1 20432 -0.30372820 -0.70826481 -17.402344 -40.580584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70811917--0.70826481) × R
    0.000145639999999947 × 6371000     		dl = 927.872439999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70811917--0.70826481) × R
    0.000145639999999947 × 6371000     		dr = 927.872439999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30391994--0.30372820) × cos(-0.70811917) × R
    0.000191739999999996 × 0.759586522418911 × 6371000     		do = 927.892316300583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30391994--0.30372820) × cos(-0.70826481) × R
    0.000191739999999996 × 0.759491789194407 × 6371000     		du = 927.776592510704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70811917)-sin(-0.70826481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759586522418911-0.759491789194407)×R²
    abs(-0.30372820--0.30391994)×9.47332245037069e-05×R²
    0.000191739999999996×9.47332245037069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.47332245037069e-05×40589641000000     		ar = 860912.02064684m²